44、递归函数学习中的非构造性程度研究

递归函数学习中的非构造性程度研究

1. 预备知识

在递归函数学习的领域中，有许多重要的概念和符号需要我们了解。

1.1 基本集合与函数定义

• 集合定义 ：
  • 设 (N = {0, 1, 2, \ldots}) 为所有自然数的集合，(N^+ = N\setminus{0})。
  • (N^*) 表示所有自然数有限序列的集合。
  • 对于集合 (S)，(\vert S\vert) 表示其基数，(\wp(S)) 表示其幂集。
  • 用 (\varnothing)、(\in)、(\subset)、(\subseteq)、(\supset)、(\supseteq) 和 (#) 分别表示空集、元素属于、真子集、子集、真超集、超集和集合不可比性。
• 函数定义 ：
  • (T) 表示所有关于 (N) 的单变量全函数的集合。
  • (P)、(R)、(P^2)、(R^2) 分别表示关于 (N) 的单变量和双变量的所有部分递归函数和递归函数的集合。
  • 对于 (f \in P)，(\text{dom}(f) = {x | x \in N, f(x)\text{ 有定义}}) 表示函数 (f) 的定义域，(\text{Val}(f) = {f(x) | x \in \text{dom}(f)}) 表示函数 (f) 的值域。
  • 若对于所有 (x, y \in N)，当 (x