42、小宽度有序二元决策图可计算性测试的下界

小宽度有序二元决策图可计算性测试的下界

1. 引言

在研究中，我们关注的问题是测试一个函数 $f : {0, 1}^n \to {0, 1}$ 是否能由一种受限的计算设备——只读一次的有序二元决策图（OBDD），也称为分支程序来计算。我们使用属性测试的语言来形式化这个问题。属性测试器的目标是在有限访问对象的情况下，区分具有某种属性的对象和与该属性“相差甚远”的对象。这里的对象是布尔函数 $f : {0, 1}^n \to {0, 1}$，我们希望有一个随机算法，如果 $f$ 能由只读一次的 OBDD 计算，则以高概率接受 $f$；如果 $f$ 与任何 OBDD 在 $\epsilon$ 比例的输入上不一致，则以高概率拒绝 $f$。属性测试算法如果根据先前查询的答案来选择查询，则为自适应算法；否则为非自适应算法。算法的复杂度是它查询 $f$ 的次数，希望这个次数是 $n$ 和 $\epsilon$ 的一个小函数。

属性测试，特别是布尔函数的测试，有着悠久的历史。在过去的二十年里，研究人员研究了许多不同函数属性的测试算法，例如线性、单调性、独裁性、单项式性或 $k$ - juntas 性等，或者是否可以用各种“简洁”的形式表示，如稀疏多项式、决策树等。

OBDD 类在理论计算机科学的许多领域都有研究，特别是在计算学习理论中，它与测试有密切的联系。有人观察到，任何适用于函数类 $C$ 的学习算法都可以用于测试 $f$ 是否属于 $C$ 或与 $C$ 相差甚远。因此，一个合适的学习算法的复杂度为测试所需的查询次数提供了一个上界。然而，这个界限通常很弱，因为对于许多有趣的类，测试的查询复杂度远小于学习的复杂度。那么对于 OBDD 是否也是这种情况呢？

2. 宽度为 2