19、组合拍卖中二次效用函数的最优分配问题解析

组合拍卖中二次效用函数的最优分配问题解析

1. 组合拍卖与最优分配问题概述

组合拍卖允许竞拍者对物品组合进行出价，而非单个物品。这种拍卖方式在出售频谱许可证、污染许可证、土地等场景中具有重要应用，能够提高多物品交易时的经济效率。

在组合拍卖里，每个竞拍者都有一个效用函数，该函数用于衡量竞拍者对不同物品子集的满意度。拍卖者的目标是将物品分配给竞拍者，使得所有竞拍者的效用总和最大化，这就是最优分配问题。

形式上，设 (V) 是 (n) 个物品的集合，(M) 是 (m) 个竞拍者的集合。竞拍者 (i) 有一个单调的效用函数 (f_i : 2^V \to R)，即当 (X \supseteq Y) 时，(f_i(X) \geq f_i(Y))。拍卖者需要找到集合 (V) 的一个划分 ((S_1, S_2, \ldots, S_m))，使得总效用 (\sum_{i = 1}^{m} f_i(S_i)) 最大。

然而，组合拍卖的实施面临一些挑战，其中之一就是效用函数的表示问题。由于一个效用函数需要为每个物品子集赋予一个值，这就需要指数级的实数值，这使得竞拍者难以准确表达其偏好，也让拍卖者难以在短时间内解决最优分配问题。

因此，需要一类具有简洁表示且足够通用的效用函数。在组合拍卖的研究中，已经考虑了多种这样的效用函数类，例如对称函数、（预算）加法函数、单目标函数、OR 函数、XOR 函数和 OR - of - XOR 函数等。

2. 二次效用函数的引入

本文关注的是二次效用函数。在组合拍卖的背景下，Conitzer 等人和 Chevaleyre 等人分别独立地首次考虑了二次函数的应用。一个效用函数 (f : 2