12、图的 L(2, 1)-标记的快速精确算法

图的 L(2, 1)-标记的快速精确算法

1. 引言

在图算法领域，确定图的 L(2, 1)-跨度是一个重要问题。以往研究中，即使对于任意大的最小度，算法的运行时间也不优于 $O^ (3^n)$。Junosza - Szaniawski 和 Rzązewski 改进了算法并细化了运行时间分析，证明其算法运行时间为 $O^ (3.2361^n)$，同时给出了最坏情况下运行时间的下界 $\Omega(3.0731^n)$。而 $O^*(3^n)$ 这一神奇的运行时间似乎难以达到。不过，现在有了新的突破，下面介绍相关内容。

2. 辅助组合结果

首先明确一些基本概念：
- 考虑有限无向图，无多重边和环。图 $G$ 的顶点集记为 $V(G)$，边集记为 $E(G)$。
- 顶点 $u$ 在图 $G$ 中的开邻域记为 $N_G(u)$，闭邻域记为 $N_G[u]=N_G(u)\cup{u}$。
- 顶点集 $X$ 在图 $G$ 中的邻域记为 $N_G(X)=\bigcup_{v\in X}N_G(v)$，闭邻域记为 $N_G[X]=N_G(X)\cup X$。
- 子集 $X\subseteq V(G)$ 诱导的子图记为 $G[X]$。
- 用 $n$ 表示输入图 $G$ 的顶点数。
- 图 $G$ 中两个顶点 $u$ 和 $v$ 之间的距离 $dist_G(x,y)$ 是连接它们的最短路径的长度。

2 - 填充定义 ：图 $G$ 顶点集的子集 $S$ 称为 2 - 填充，如果 $S$ 中任意两个不同顶点的距离至少为 3（即 $S$ 是独立集，且 $