对ESS的刻画

入侵壁垒

对每个变异策略y，存在${\epsilon }_y>0$，小于该值时，x可以抵制y的感染，即有：
$u[x,y]>u[y,y]$。将该值称为入侵壁垒，可表示成：
b ( y ) = s u p { δ ∈ [ 0 , 1 ] : f ( ε , y ) > 0 , ∀ ε ∈ ( 0 , δ ) } b(y)=sup\{\delta\in[0,1]:f(\varepsilon,y)>0,\forall \varepsilon\in(0,\delta)\} b(y)=sup{δ∈[0,1]:f(ε,y)>0,∀ε∈(0,δ)}
即为保证演化稳定条件下能够达到最大的比例，故取的上界
如下例子，$b(y)=1/3$

演化稳定性意味着${\epsilon }_y$对所有变异来说可以取相同的值，也就是说，演化稳定策略x有均匀的入侵壁垒，均匀入侵壁垒定义如下：
定义2.2
如果存在某个$\bar{\epsilon }\in (0,1)$使得不等式$u[x,w]>u[y,w].w=\epsilon y+(1-\epsilon )x$对所有$y\ne x$和每个$\epsilon \in (0,\bar{\epsilon })$都成立，那么$x\in \Delta$有一个均匀的入侵壁垒$\bar{\epsilon }$。

当且仅当x有一个均匀的入侵壁垒，$x\in {\Delta }^{ESS}$
即：均匀的入侵壁垒 $\leftrightarrow {\Delta }^{ESS}$

局部优越性

针对临近变异策略y的收益高于针对（变异策略y）自身得到的收益
即：$u[x,y]>u[y,y]$
当且仅当x是局部优越的，$x\in {\Delta }^{ESS}$

本文参考《演化博弈论》[瑞典]乔根·W.威布尔
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