演化博弈论基本概念

混合策略

符号

标准博弈可以写成：$G=(I,S,\pi )$
博弈方集合： $I=(1,2,3...,n)$,n为博弈方数目
有限纯策略集合： S i = { 1 , 2 , . . . , m i } S_i= \{1,2,...,m_i\} Si​={1,2,...,mi​}，$m_i$为博弈方能够采取的策略数目
纯策略空间：$S=X_i{S}_i，X_i$表示卡特尔积

对卡特尔积举个栗子
两个人进行剪刀石头布的游戏
I = 2 , S i = { 剪 刀 ， 石 头 ， 布 } , I=2,S_i=\{剪刀，石头，布\}, I=2,Si​={剪刀，石头，布},
S = { ( 剪 刀 ， 剪 刀 ) ， ( 剪 刀 ， 石 头 ) ， ( 剪 刀 ， 布 ) ， ( 石 头 ， 石 头 ) ， ( 石 头 ， 剪 刀 ) ， ( 石 头 ， 布 ) , ( 布 ， 布 ) ， ( 布 ， 剪 刀 ) ， ( 布 ， 石 头 ) } S=\{(剪刀，剪刀)，(剪刀，石头)，(剪刀，布)，(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布),(布，布)，(布，剪刀)，(布，石头)\} S={(剪刀，剪刀)，(剪刀，石头)，(剪刀，布)，(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布),(布，布)，(布，剪刀)，(布，石头)}

对于任何策略组合S，博弈方I的收益可以记为${\pi }_i(s)$，${\pi }_i(s)$应该也可以写成${\pi }_i:S\to R$
${\pi }_i:S\to R$为集值映射，意思为S中的每个策略，都可以对应成R中的每一个子集。

混合策略的空间几何

$x_i$的支集(或承载形)： C ( x i ) = { h ∈ S i : x i h > 0 } C(x_i)=\{h\in S_i:x_{ih}>0\} C(xi​)={h∈Si​:xih​>0}
即为某混合策略$x_i$赋予正概率的纯策略的集合
比如：策略集={剪刀，石头，布}，混合策略$x_i=(1/2,1/2,0)$
则 C ( x i ) = { 剪 刀 ， 石 头 } C(x_i)=\{剪刀，石头\} C(xi​)={剪刀，石头}

单纯形 Δ i = { x i ∈ R + m i : Σ h = 1 m i x i h = 1 } \Delta_i=\{x_i \in R_+^{m_i}:\Sigma_{h=1}^{m_i}x_{ih}=1\} Δi​={xi​∈R+mi​​:Σh=1mi​​xih​=1}
${\Delta }_i$的顶点为$m_i$维空间的单位向量(表示某个纯策略)
混合策略单纯形${\Delta }_i$是所有顶点的凸包。
每个混合策略$x_i$是纯策略$e_i^h$的凸组合。
凸集，凸组合，凸包，仿射组合：
凸包：S为欧式空间$R^n$的任意子集，包含S的最小凸集称为S的凸包。
内部： i n t ( Δ i ) = { x i ∈ Δ i : x i h > 0 , ∀ h } int (\Delta_i)=\{x_i\in \Delta_i:x_{ih}>0,\forall h\} int(Δi​)={xi​∈Δi​:xih​>0,∀h}
外部： b d ( Δ i ) = { x i ∈ Δ i : x i ∉ i n t ( Δ i ) } bd(\Delta_i)=\{x_i\in \Delta_i:x_i\notin int(\Delta_i)\} bd(Δi​)={xi​∈Δi​:xi​∈/​int(Δi​)}
其中，$x_i$为某个混合策略，$h\in S_i$即为第几个策略。
混合策略空间 $\Theta =X_{i\in I}{\Delta }_i$(单纯形是某个博弈方的策略集合，策略空间是每个博弈方策略的笛卡尔积)
$int\Theta =X_{i\in I}int({\Delta }_i)$
当且仅当C(x)=S(任意$x_{ih}$均大于0),对于$x\in \Theta :x\in int(\Theta )$的支集，记为$C(x)=X_{i\in I}C(X_i)\subset S$

• 如果子集$X\subset \Theta$是各博弈方的笛卡尔积，那么X称为$\Theta$的面，特别的，$X=\Theta$是$\Theta$的一个面，而且是最大的一个面
• 每一个纯策略组合，可以视为$\Theta$的一个单点子集，是一个边界面
• $\Theta$的边界面的并等同于集合$bd(\Theta )$

策略组合的表示

博弈方i采取策略$x_i\in {\Delta }_i$,其他所有博弈方j按照策略组合$y\in \Theta$ 来行动，将此策略表示为：$z=(x_i,y_{-i})$

混合策略收益函数

某个纯策略s被采用的概率就是每个博弈方的混合策略赋予他纯策略的概率之积
$x(s)={\prod }_{i=1}^n{x}_{i{s}_i}$
比如：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right]$$
行博弈方策略$x_i=(1/3,2/3)$,列博弈方策略$y_i=(1/2,1/2)$
则S={1,2}被采用的概率为$1/6$
混合策略组合带给博弈方的期望收益值为
$u_i(x)={\Sigma }_{s\in S}x(s){\pi }_i(s)$
若将博弈方j运用第k个纯策略时博弈方i的收益记作$u_i(e_j^k,x_{-j})$
对任何的$x\subset \Theta$和$i,j\in I$，$u_i(x)={\Sigma }_{k=i}^{m_i}{u}_i(e_j^k,x_{-j})x_{jk}$

对任何的混合策略对$x_1\in {\Delta }_1,x_2\in {\Delta }_2$
有$u_1(x)={\Sigma }_{h=1}^{m_1}{\Sigma }_{h=2}^{m_2}{x}_{1h}{a}_{hk}{x}_{2k}=x_{1}A{x}_2$
$u_2(x)={\Sigma }_{h=1}^{m_1}{\Sigma }_{h=2}^{m_2}{x}_{1h}{b}_{hk}{x}_{2k}=x_{1}B{x}_2=x_2{B}^T{x}_1$

最优反应

最佳反应集合

最优反应${\beta }_i(y)$是针对博弈方i的采取某个策略y收益最高的反应集合，$\beta (y)$则是将不同博弈方的策略进行笛卡尔积，因此说，最优反应是将策略组合映射至策略组合的集合；
最佳反应集合${\beta }^{\ast }(y)$则是将策略映射到策略集。

集值映射参考文章
https://zhuanlan.zhihu.com/p/187596916