卡特兰数原理、性质、应用场景与编程求解

最新推荐文章于 2025-11-06 17:50:03 发布

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#卡特兰数 #组合数学 #编程题

本文详细介绍了卡特兰数的定义、性质、应用，并提供了编程求解第n个卡特兰数的方法。卡特兰数在组合数学中广泛出现，与括号表达式、二叉树、 Dyck 字符串等多个领域有密切联系。同时，文章给出了计算卡特兰数的递推公式，并探讨了其在剧场购票问题中的应用。

卡特兰数

1. 定义与背景

卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡塔兰数的一般项公式为 $C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

另类递归式 $ h(n)=\frac{4*n-2}{n+1}*h(n-1)$

前几项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

2. 性质

* $C_n$ *的另一个表达形式为 $C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1$ 所以，C**n是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)

卡塔兰数满足以下递推关系

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

它也满足

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

$C_n \sim \frac{4n}{n{3/2}\sqrt{\pi}}$

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_{n}都满足n = 2k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

递推公式
$C_n = /frac{1}{n+1}{2n/choose n} = /frac{(2n)!}{(n+1)!/,n!} /quad n/ge 0$
$C_n = {2n/choose n} - {2n/choose n+1} /quad n/ge 0$
$C_0 = 1 /quad , /quad C_{n+1}=/frac{2(2n+1)}{n+2}C_n$