28、热传导问题的求解与应用

热传导问题的求解与应用

在热传导相关的实际问题中，我们会遇到诸如双层玻璃、水管保温以及电脑芯片散热等多种情况。下面将详细探讨这些问题的解决方法和相关原理。

1. 双层玻璃的热传导特性

在考虑热传导模型时，需要注意的是，模型中的 $k_a$ 适用于干燥静止的空气。当空气含有水分时，$k_a$ 会增大，热损失也会增加，此时该模型就不再适用。所以，双层玻璃需要一个完全密封且无水分的腔体。而对于墙壁、地板和天花板的腔体，由于难以密封，通常会使用其他材料进行隔热。在这些存在空气流动的情况下，热量可以通过对流传递；而在双层玻璃的例子中，仅考虑了热量的传导。

从相关模型结果可以明显看出，双层玻璃能够大幅减少热量损失。它的实际效果可能接近制造商所宣称的那样，是物有所值的。对于经济条件有限或者租房居住的人来说，在寒冷季节，他们会在单层玻璃窗内侧贴上塑料薄膜，形成一种简易的双层玻璃，这种方法也能取得显著的隔热效果。

2. 水管保温问题

在寒冷气候下，暴露在冷空气中的水管会有显著的热量损失。极端情况下，水管内水温可能降至 $0^{\circ}C$ 以下并结冰，水结冰膨胀可能导致水管破裂。为了限制热量损失并防止此类问题，通常会在水管周围包裹保温材料。

2.1 问题描述

我们需要计算给定长度水管的热损失速率，并研究热损失速率随保温材料厚度增加的变化情况。

2.2 模型假设与方法

为建立数学模型，我们研究保温层内的径向热传导。设保温层内半径为 $a$，外半径为 $b$，则厚度为 $(b - a)$，$u_a$ 和 $u_b$ 分别为保温管内外的温度，$r$ 为距管中心的径向距离