22、种群模型与热传导模型的深入探讨

种群模型与热传导模型的深入探讨

1. 扩展种群模型相关问题

1.1 物种多样性

• 绘制时间依赖图 ：参考“竞争、捕食与多样性”案例研究，使用Maple或MATLAB，依据文本提供的参数值生成案例中的时间依赖图。
• 简单竞争模型分析 ：对于简单竞争模型（当$N_3 = 0$），条件$\alpha_{11}\alpha_{22}-\alpha_{12}\alpha_{21} \leq0$在大多数情况下预示着除一种物种外其他物种的灭绝。
• 求系统平衡点 ：找出该系统的平衡点。

1.2 尺度变换

1.2.1 逻辑斯谛方程尺度变换

• 变量替换 ：考虑逻辑斯谛方程$\frac{dX}{dt} = rX(1 - \frac{X}{K})$，$X(0) = x_0$。由于$X$和$K$单位相同，选择新的无量纲变量$Y = \frac{X}{K}$。经过变量替换，原方程变为$\frac{dY}{dt} = r(1 - Y)Y$，且$Y(0) = y_0 = \frac{x_0}{K}$。
• 独立变量尺度变换 ：进一步，使用$t = \frac{s}{r}$对独立变量进行尺度变换。根据链式法则$\frac{dY}{ds} = \frac{dY}{dt}\frac{dt}{ds}$，可得$\frac{dY}{ds} = (1 - Y)Y$，$Y(0) = \la