19、非线性理论在种群动力学中的应用及案例分析

非线性理论在种群动力学中的应用及案例分析

1. 非线性理论基础

在研究相互作用的种群时，我们常常会遇到非线性方程组。为了更好地分析这些系统，我们引入了线性化的方法。

1.1 线性化的概念

对于一个一般的二维非线性微分方程组：
[
\begin{cases}
\frac{dX}{dt} = F(X, Y) \
\frac{dY}{dt} = G(X, Y)
\end{cases}
]
设((x_e, y_e))是该系统的一个平衡点，即(F(x_e, y_e) = 0)且(G(x_e, y_e) = 0)。考虑接近稳态解的情况，令(X(t) = x_e + \xi(t))，(Y(t) = y_e + \eta(t))，其中(\xi(t))和(\eta(t))是小量，当(X)和(Y)趋近于平衡点时，它们趋近于零。

通过变量替换和泰勒级数展开，我们可以得到线性化后的系统：
[
\begin{cases}
\xi’ = F_{\xi}(x_e, y_e) \xi + F_{\eta}(x_e, y_e) \eta \
\eta’ = G_{\xi}(x_e, y_e) \xi + G_{\eta}(x_e, y_e) \eta
\end{cases}
]
用向量表示为：
[
\begin{bmatrix}
\xi’ \
\eta’
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
F_{\xi} & F_{\eta} \