18、线性化分析：理论与应用

线性化分析：理论与应用

1. 引言

在研究方程系统时，我们发现其行为具有多样性。根据初始条件或所选参数值的不同，系统的结果可能是稳定的、不稳定的、周期性的或发散的。为了预测系统的动态行为，我们将先从线性系统的方程入手，随后把相关理论拓展到非线性系统。最后，我们会将这些理论应用到实际模型中。

2. 线性理论

2.1 一般线性系统

考虑一对耦合的线性方程的一般形式：
[
\begin{cases}
X’ = a_1X + b_1Y \
Y’ = a_2X + b_2Y
\end{cases}
]
其中，求导是相对于时间 ( t ) 进行的（即 ( X’ = \frac{dX}{dt} )，( Y’ = \frac{dY}{dt} )），且 ( a_1, a_2, b_1, b_2 ) 为常数。系统的平衡点（临界点或稳态）记为 ( (x_e, y_e) )，满足 ( a_1x_e + b_1y_e = 0 ) 和 ( a_2x_e + b_2y_e = 0 )。

2.2 线性代数表示

上述系统可以用矩阵和向量表示为：
设 ( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} X \ Y \end{bmatrix} )，( \mathbf{x}’ = \begin{bmatrix} X’ \ Y’ \end{bmatrix} )，( \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{bmatrix} )，则系统方程可写为 ( \mathbf{x}’ =