44、随机游走与应急疏散及网络路由的相关研究

随机游走与应急疏散及网络路由的相关研究

随机游走的渐近行为

在随机游走的研究中，我们将 $X_n$ 表示为其增量之和，即 $X_n = \sum_{k = 0}^{n - 1}Y_k$（其中 $Y_k = X_{k + 1} - X_k$）。通过遍历定理，结合引理 2 和引理 4，我们可以得到 $\lim_{n \to +\infty} \frac{X_n}{n}$ 的结果。
具体推导过程如下：
$\lim_{n \to +\infty} \frac{X_n}{n} = \int_E E_e(Y_0)dv(e) = \int_E(\alpha_0(e) - \beta_0(e))h(e)d\pi(e) = v\int_E(\alpha_0(e) - \beta_0(e))\alpha(0)^{-1}S(e)d\pi(e) = v\int_E(1 + \sigma_1S(\theta e))d\pi(e) - v\int_E \sigma_0S(e)d\pi(e) = v$，$P_v - a.s.$

对于 $T_n$，我们可以证明 $\lim_{n \to +\infty} \frac{T_n}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{X_n}$。设 $k_n$ 是唯一的非负整数，满足 $T_{k_n} \leq n < T_{k_{n + 1}}$。在情况 (i) 中，$X_n \to +\infty$，$a.e.$，因此 $k_n \to +\infty$，$a.e.$。此时，$X_n < k_n + 1$，并且到时间 $n$ 时，随机游走已经到达 $k_n$，由于它每步移动不超过一个整数，所以 $k_n \leq X_n + (n -