CINTA作业一

迭代版本的简单乘法

#include<iostream>
#include"math.h"
using namespace std;

int multiply(int a, int b)
{
	int sign=1;
	if (a == 0 || b == 0)return 0;
	if (a < 0 && b>0 || a > 0 && b < 0) {
		sign = -1;
		a = abs(a);
		b = abs(b);
	}
	int m = 0;
	int tem = b;
	b = 0;
	while ((b-1) != tem)
	{
		if (b == 0) {
			b++;
		}
		else {
			m = a + m;
			b++;
		}
		
	}
	return sign*m;
}

int main()
{
	int x = -4;
	int y = 7;
	cout << x<<"x"<<y<<"="<<multiply(x, y);
	return 0;
}

求证命题1.1：

设a,b,c ∈Z，如果a |b，b |c，则a |c。如果c |a，c |b，则对任意m,n ∈Z，有c |(ma + nb)。

证：设a,b,c ∈Z，如果a |b，b |c，则a |c。

因为
$$a|b,b|c$$
所以
$$b=k_{1}a,c=k_{2}b(k_1,k_2\in Z)$$
故
$$c=k_1{k}_{2}a(k_1{k}_2\in Z)$$

$$a|c$$

证：如果c |a，c |b，则对任意m,n ∈Z，有c |(ma + nb)。

因为
$$c|a,c|b$$
所以
$$a=k_{1}c,b=k_{2}c(k_1,k_2\in Z)$$
所以
$$ma+nb=m{k}_{1}c+n{k}_{2}c=(m{k}_1+n{k}_2)c$$

$$c|(ma+nb)$$

求证定理1.1：

对任意给定的整数a 和b，其中b > 0，存在唯一的整数对q（商）和r（余数）使得，a = qb + r且0 ≤r < b。

证明：

首先证明存在性，即存在这样的q,r且r<b
令S={a−bk:k∈Z且a−bk≥0} 令S=\{a-bk:k\in Z且a-bk\geq0\} 令S={a−bk:k∈Z且a−bk≥0}
若0∈S,即存在k=a/b使得a-bk=0∈S。

若0∉S,为使S非空，

​ 当a>0时，存在k=0使得a-bk=a>0,即此时a-bk∈S

​ 当a<0时，存在k=2a使得a-bk=a(1-2b)>0，即a-bk∈S

所以集合S非空，根据良序定理，S必然存在一个最小元素r=a-bq，即a=bq+r且r>=0。

然后证明r<b，使用反证法：

假设r>b

则a-b(q+1)=a-bq-b=r-b>0,即a-b(q+1)∈S

然而根据上述证明可知r=a-bq时S中的最小元素，而a-b(q+1)<a-bq与之矛盾，故假设不成立

所以r<b。

证明唯一性

假设存在r,r’,q,q’使得
$$a=bd+r,0\le r<b且a=b{q}^{\prime }+r^{\prime },0\le r^{\prime }<b$$
可得bq+r=bq’+r’即b(q-q’)=r’-r

不妨设r’>=r
$$则b|(r^{\prime }-r)且0\le r^{\prime }-r\le r^{\prime }<b$$
上式只有当r’-r=0时成立

故r’=r,q’=q.