【算法】Partition Array for Maximum Sum 分隔数组以得到最大和

Partition Array for Maximum Sum 分隔数组以得到最大和

问题描述：

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度 最多 为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

arr.length 范围[1,500]，arr[i]范围[0,10^9] ,k范围[1,arr.length]

分析

就是一个数组arr，对其计算和，可以将原始数组进行分割，分割成为若干的子数组，子数组的长度$length<=k$,分割后的子数组的值都会变成该子数组中的最大值。

也就是说，应该存在一种分割，使得每个子数组都得到最大值，从而使得整个数组取的最大。

但是这样的分割是不确定的，长度可以是$1$，最大是$k-1$，所以只能尝试传统的递归搜索，$dfs(i)表示以下标i为结尾时可以得到的最大和$。
D F S ( i ) = max ⁡ j = max ⁡ ( i − k , 0 ) i − 1 { D F S ( j ) + ( i − j ) × max ⁡ p = j + 1 i a r r [ p ] } DFS(i)= \max_{j=\max(i-k,0)}^{i-1} \{DFS(j)+ (i-j) \times \max_{p=j+1}^{i}arr[p] \} DFS(i)=j=max(i−k,0)maxi−1​{DFS(j)+(i−j)×p=j+1maxi​arr[p]}

由于$dfs$的定义，所以可以将$dfs(0)\to dfs(k)$的结果预处理，并作为边界。

那么最终的结果，就是$dfs(n-1)$.

而整个dfs的时间复杂度是基于$n$的规模，时间复杂度很大，而中间又会出现非常多的重复，所以memo记忆化就可以上了。

既然可以通过$dfs+memo$递归回溯得到结果，那么正向的递推也可以。

$f[i]表示下标i结尾的数组划分子数组后，可以得到的最大和$。

状态转移方程

f [ i ] = max ⁡ j = max ⁡ ( i − k , 0 ) i − 1 { f ( j ) + ( i − j ) × m x } m x 表示 a r r [ j + 1 ] → a r r [ i ] 的最大值。 f[i] = \max_{j=\max(i-k,0)}^{i-1} \{f(j)+ (i-j) \times mx \}\\ mx表示arr[j+1]\rightarrow arr[i]的最大值。 f[i]=j=max(i−k,0)maxi−1​{f(j)+(i−j)×mx}mx表示arr[j+1]→arr[i]的最大值。
$$
丐版方程：f[i] =max( f[j] + (i-j)*mx ) j<=i-1&&j>=i-k

代码

public int maxSumAfterPartitioning(int[] arr, int k) {
        int n = arr.length;
        int[] d = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int maxValue = arr[i - 1];
            for (int j = i - 1; j >= 0 && j >= i - k; j--) {
                d[i] = Math.max(d[i], d[j] + maxValue * (i - j));
                if (j > 0) {
                    maxValue = Math.max(maxValue, arr[j - 1]);
                }
            }
        }
        return d[n];
    }
 

时间复杂度 $O(Nk)$

空间复杂度： $O(N)$

Tag

Array Dynamic Programming