n级台阶 1,2,3 步走法

 

最近看到一批面试题目,比较感兴趣,工作之余解解题来练习练习思维.

人人笔试1：一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个，问这个人上n层的台阶，总共有几种走法？

思路:先建立数学模型,设3步的走 i 次,2步的走 j 次, 1步的走 k 次,上了3*i + 2*j + 1*k = n个台阶.总共走 i + j + k 次, 等于把n个台阶的长度先划分成 i + j + k 个段落, 然后分别填下i个3, j 个2, k个1.这样,当划分成 i + j + k 个段落时, 根据排列组合知识,所有填充方法有 (i + j + k )!/ ( i!*j!*k!) 种,程序中使用GetComb(i,j,k)函数计算此值.
对于i, j, k的确定,我们可以用从大到小划分法, 先划分3的次数,再划分2的次数,剩下的都算做1的次数,具体程序中就是里面的i,j,两重循环.

 

//辅助函数，计算阶乘
int Factorial(int n)
{
 int ret = n;
 if (n<=1)
 {
  return 1;
 }
 while (n-->1)
 {
  ret*=n;
 }
 return ret;
}


//求(i+j+k)!/(i!*j!*k!)

int GetComb(int i,int j,int k)
{
 int result = 1;
 int m = Factorial(i+j+k);
 int l =  Factorial(i)*Factorial(j)*Factorial(k);
 return m/l;
}

//主函数

int NStepFor123(int n)
{
    int i=0;
    int j=0;
    int p;
    int k;
    int result=0;
    for ( i=0; i<=n/3; i++ )
    {
        p = n-i*3;
        for ( j=0; j<=p/2; j++ )
        {
            k = p -j*2;
            //求(i+j+k)!/(i!*j!*k!)
            result += GetComb(i,j,k);
        }
    }
    return result;
}

 

另外有一种数学归纳法的思路先得出递推式：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，特别地f(0)=1;f(1)=1;f(2)=2;

式子的证明为：增加一步共为f(n+1)的时候，把这新的一步算进去后有三种情况，1是这一步仅当一步走为f(n)次，2是这一步配合原来的最后一步作为两步走为f(n-1)次，3是这一步配合前面的两步作三步走为f(n-2)；所以式子f(n+1) =f(n)+ f(n-1)+f(n-2)，归纳得证。

这种方法可以使复杂度降为O(n)，而且只有加法，比上面的第一种方法要好。计算f(n)只要一直记录之前三个值，以求下一个值就可以了。以下是程序实现：

int f (int k)
{
	int v[3]={1,1,2};
	int index = -1;
	int i = 0;

	if (k<0)
	{
		return 0;
	}

	if (k<3)
	{
		return v[k];
	}

	while(k-->2)
	{
		index++;
		index %= 3;
		v[index] = v[0]+v[1]+v[2];		
	}
	return v[index];
}