11、梯度法与牛顿法：优化算法的深入解析

梯度法与牛顿法：优化算法的深入解析

梯度法相关内容

梯度法是优化领域中常用的方法，下面我们将深入探讨其相关理论及应用。

梯度法收敛性证明

设 (f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}) 是一个具有海森矩阵 (Q) 的二次函数，且 (Q) 的最大和最小特征值满足 (\lambda_{max}(Q) > \lambda_{min}(Q))。为证明序列 ({x^{(k)}}) 的收敛阶为 1，只需证明存在 (x^{(0)}) 使得对于某个 (c > 0)，有 (|x^{(k + 1)} - x^ | \geq c|x^{(k)} - x^ | )。
通过瑞利不等式可得：
(V(x^{(k + 1)}) = \frac{1}{2}(x^{(k + 1)} - x^ )^TQ(x^{(k + 1)} - x^ ) \leq \frac{\lambda_{max}(Q)}{2}|x^{(k + 1)} - x^ |^2)
(V(x^{(k)}) \geq \frac{\lambda_{min}(Q)}{2}|x^{(k)} - x^ |^2)
结合引理 8.1，得到 (|x^{(k + 1)} - x^ | \geq \sqrt{(1 - \gamma_k)\frac{\lambda_{min}(Q)}{\lambda_{max}(Q)}}|x^{(k)} - x^ | )。所以，只需选择 (x^{(0)}) 使得 (\gamma_k \leq d)（其中 (d < 1)）。
对于最速下降算法，当 (g^{(k)