5、高效计算亏格2曲线在射影坐标下的配对

高效计算亏格2曲线在射影坐标下的配对

在密码学领域，配对计算是一个重要的研究方向，特别是在亏格2曲线的配对计算方面，有着广泛的应用和研究价值。本文将详细介绍亏格2曲线在射影坐标下的高效配对计算方法，包括最终指数运算、效率比较与分析以及实验结果等内容。

最终指数运算

设 $f = a + b\sqrt{\beta} \in F_{p^2}$ 为 Miller 算法的输出，我们可以按照以下方式计算最终指数运算：
[
f^{\frac{p^2 - 1}{n}} = \left(\frac{a - b\sqrt{\beta}}{a + b\sqrt{\beta}}\right)^{\frac{p + 1}{n}} = \left(\frac{a^2 - 3b^2 + \sqrt{\beta}((a - b)^2 - (a^2 + b^2))}{a^2 + 3b^2}\right)^{\frac{p + 1}{n}}
]
我们首先在 $F_p$ 中用 $1I + 2M + 3S$ 计算括号内的表达式，然后在 $F_{p^2}$ 中进行昂贵的 $(p + 1)/n$ 指数运算。

效率比较与分析

我们的封装显式公式适用于超奇异和非超奇异亏格2曲线的配对计算。下面分别对这两种情况进行分析。

超奇异亏格2曲线

在文献 [7] 和 [16] 中，作者考虑了在仿射坐标下对一族嵌入度为4的超奇异亏格2超椭圆曲线进行配对计算。这些曲线由方程 $y^2 = x^5 + a$ 定义，其中 $a \in F_p^*$ 且 $p \equiv 2, 3 \mod 5$。由于曲线系数 $f_2$ 和 $f_3