常微分方程 ODE -- Autonomous Equations and Stability

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#常微分方程 #数学

本文探讨了常微分方程中的自治方程，解释了方向场的概念，重点介绍了平衡点和解，以及稳定性理论。当f(x0)=0时，x0为平衡点，若f'(x0)<0，该点为渐近稳定；若f'(x0)>0，则不稳定。

ODE – Autonomous Equations and Stability

Autonomous Equation

is an equation of the special form
x′=f(x)(1) x'=f(x) \qquad (1) x′=f(x)(1)
Note: 可以看出这个方程与函数x(t)x(t)x(t)的自变量ttt无关

Direction field

因为与自变量无关，所以对于任意的t值，v相同处的方向场都是一样的

如下图
在这里插入图片描述

Equilibrium Points and Solutions

If f(x0)=0f(x_0)=0f(x0​)=0, then the constant function x(t)=x0x(t)=x_0x(t)=x0​ satisfies

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