NOI 2014 魔法森林 LCT

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为 1…n，边标号为1…m。初始时小E同学在 1 号节点，隐士则住在 n 号节点。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在 1  号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边 e  i  包含两个权值 ai 与 b  i  。若身上携带的A型守护精灵个数不少于 a i，且B型守护精灵个数不少于 b   i  ，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

输入格式

第1行包含两个整数 n,m，表示无向图共有 n 个节点，m 条边。

接下来 m 行，第 i+1行包含4个正整数 xi,yi,ai,bi，描述第 i 条无向边。其中 xi 与 yi 为该边两个端点的标号，ai 与 b  i  的含义如题所述。

注意数据中可能包含重边与自环。

输出格式

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

思路：

首先按ａ值从小到大给边排序，再按顺序考虑每一条边：

１）若这条边连接两个联通分量（可用并查集维护），则加入这条边；

２）若这条边两端是在同一联通分量中，则查询ＬＣＴ上两端点之间的边的ｂ值最大值，与这条边比较，将更优的边留在ＬＣＴ上。

插入一条边后，若此时１到ｎ联通，查询其路径上的ｂ值最大值，加上插入的边的ａ值即可。

需要注意的是，ＬＣＴ维护边权并不方便，我的方法是对每一条边新增一个点，将这个点与其边的两端点连接，点权即为边的ｂ值，其余的点权为０，维护最大点权最大的点即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define For(i,j,k) for(int i = j;i <= k;i++)
#define Forr(i,j,k) for(int i = j;i >= k;i--)
#define Set(i,j) memset(i, j, sizeof(i))

using namespace std;

const int N = 150010, M = 100010;

struct Edge{
	int x, y, a, b;

	bool operator < (const Edge &A) const{
		return a < A.a;
	}

}E[M];

int f[N], n, m;

int find(int x){
	return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}

int fa[N], rev[N], w[N], ch[N][2], pos[N];

void init(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	For(i,1,m) scanf("%d%d%d%d", &E[i].x, &E[i].y, &E[i].a, &E[i].b);
	sort(E + 1, E + m + 1);
	For(i,1,n) f[i] = i;
}

bool isroot(int x){
	return x != ch[fa[x]][0] && x != ch[fa[x]][1];
}

void pushup(int h){
	pos[h] = h;
	if(w[pos[ch[h][0]]] > w[pos[h]]) pos[h] = pos[ch[h][0]];
	if(w[pos[ch[h][1]]] > w[pos[h]]) pos[h] = pos[ch[h][1]];
}

void pushdown(int h){
	if(rev[h]){
		if(ch[h][0]) rev[ch[h][0]] ^= 1;
		if(ch[h][1]) rev[ch[h][1]] ^= 1;
		rev[h] = 0;
		swap(ch[h][0], ch[h][1]);
	}
}

void rotate(int x){
	int y = fa[x], z = fa[y], c = ch[y][1] == x;
	if(!isroot(y)) ch[z][ch[z][1] == y] = x; fa[x] = z;
	ch[y][c] = ch[x][c ^ 1], fa[ch[y][c]] = y;
	ch[x][c ^ 1] = y, fa[y] = x;
	pushup(y);
}

void push(int x){
	if(!isroot(x)) push(fa[x]);
	pushdown(x);
}

void splay(int x){
	push(x);
	while(!isroot(x)){
		int y = fa[x], z = fa[y];
		if(!isroot(y)){
			if((ch[z][0] == y) ^ (ch[y][0] == x)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
	pushup(x);
}

void access(int x){
	int t = 0;
	while(x){
		splay(x);
		ch[x][1] = t;
		pushup(x);
		t = x, x = fa[x];
	}
}

void setroot(int x){
	access(x), splay(x);
	rev[x] ^= 1;
	pushdown(x);
}

void cut(int x){
	access(x);
	splay(x);
	ch[x][0] = fa[ch[x][0]] = 0;
	pushup(x);
}

void link(int x, int y){
	setroot(x);
	fa[x] = y;
}

void remove(int h){
	setroot(h);
	cut(E[h - n].x), cut(E[h - n].y);
}

void add(int i){
	w[i + n] = E[i].b;
	link(E[i].x, i + n), link(E[i].y, i + n);
}

int query(int x, int y){
	setroot(x);
	access(y), splay(y);
	return pos[y];
}

int main(){
	init();
	int Ans = 1e9;
	For(i,1,m){
		int x = E[i].x, y = E[i].y, t;
		if(find(x) != find(y)) f[find(x)] = find(y), add(i);
		else if(w[(t = query(x, y))] > E[i].b) remove(t), add(i);
		if(find(1) == find(n)) Ans = min(Ans, w[query(1, n)] + E[i].a);
	}
	printf("%d\n", Ans > 1e8 ? -1 : Ans);
	return 0;
}