ZJOI 2009 取石子游戏 博弈论

题目：

在研究过Nim游戏及各种变种之后，Orez又发现了一种全新的取石子游戏，这个游戏是这样的： 有n堆石子，将这n堆石子摆成一排。游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。 Orez问：对于任意给出一个初始一个局面，是否存在先手必胜策略。

思路：

看到题毫无思路，难以找到获胜策略，看了一个大牛的题解才慢慢理解。确实是好题，又一次感受到博弈论的博大精深。

首先，设在区间[i, j]左边放l[i][j]（可以为0）个石子后（区间内石子保持原状），产生的局面为先手必败局面，r[i][j]就是在右边放；设A[i]为第i堆石子个数。

接下来证明l[i][j]与（r[i][j]同理）是唯一的：

1）若存在两或以上个l[i][j]，则从某一个必定可一步转移到另一个，矛盾，故最多只有一个；

2）若没有l[i][j]，那么必胜态只可能通过拿右边的石子转移到某个必败态，由于此时左边石子可以是任意个，右边石子数固定，于是必有右边的某一个石子数对应了多种必败态，这些必败态只有左边的石子数不同，与1矛盾。

最后我们考虑l[i][j]的求法，设L = l[i][j-1], R = r[i][j-1], x = A[j]，大力分类讨论：