最长公共子串的动态规划解法及其优化

最新推荐文章于 2025-09-08 11:22:41 发布

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本文探讨了如何使用动态规划解决最长公共子串问题，并提供了优化思路。通过设立dp矩阵，当两个字符串的对应字符相等时，公共子串长度加一，不等时置零。通过观察发现，只需按对角线方向更新状态，从而减少空间复杂度。附带实现代码。

最长公共子串问题是：给定两个字符串str1和str2，返回两个字符串的最长公共子串（必须连续）

举例： str1 = "abcd12" str2="ebcd32" 它们的最长公共子串是 "bcd"

原始解法：

设dp[i][j] 表示以str1[i]和str2[j]最为公共子串的最后一个字符的情况下，公共子串最长能有多长。

边界值: 如果 str1[i] = str2[0]则dp[i][0] =1 否则为 dp[i][0]=0;如果str2[j] = str1[0] 则dp[0][j]=1 否则 dp[0][j] =0

一般值只有两种情况：

1)如果 str1[i] ==str2[j] : 则dp[i-1][j-1]+1 .比如 str1 = "cd1234" str2="abd1234" dp[5][6] 的意思是以 str1[5] '4' 和str2[6] '4'结尾的最长公共子串，显然是dp[4][5]+1 即 "123" 后面再加上'4' .

2)如果str1[i]!=str2[j] ：则dp[i][j]=0 。

生成动态规划表dp 之后，得到最长公共子串是非常容易的。如 str1 = "cd1234" str2="abd1234"的最长公共子串长度是 dp[5][6]=4；证明str1[5]相左4个字符就是最长公共子串的内容了。

下面是实现代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1000][1000];

int main(){
memset(dp,0,sizeof(dp));
int i,j;
string str1,str2;
cin>>str1>>str2;

for(i =0;i<str1.size();i++){