52、动态规划：从基础到实战

动态规划：从基础到实战

1. 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、计算机科学和经济学等领域广泛应用的算法设计技术。它主要用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。动态规划的思想是将问题分解为更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法效率。

动态规划的核心思想是通过构建一个表格（或数组）来存储子问题的解，使得每个子问题只需计算一次。当遇到相同的子问题时，可以直接从表格中取出之前计算的结果，而不需要重新计算。这种策略显著减少了计算量，尤其是在处理复杂问题时，效果尤为明显。

2. 动态规划的应用场景

动态规划适用于以下几种典型的应用场景：

1. 最优化问题 ：例如背包问题、最长公共子序列问题等。
2. 计数问题 ：例如计算斐波那契数列、计算路径数目等。
3. 存在性问题 ：例如判断是否存在一条路径满足某些条件。

2.1 最长公共子序列问题

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）问题是动态规划的经典应用之一。给定两个字符串S和T，求这两个字符串的最长公共子序列。子序列是指从原字符串中删除若干字符（可以不删除）后剩余的字符组成的序列。

2.1.1 问题描述

给定两个字符串S和T，求这两个字符串的最长公共子序列。例如，给定S=”abcde”和T=”ace”，则最长公共子序列是