2018.09.27 网络协议(tarjan)

本文探讨了如何运用Tarjan算法解决一个关于计算机网络中软件支援协议的问题。任务是确定最少需要向多少所学校提供新软件,以确保整个网络能接收到,以及在允许添加支援关系的情况下,最少增加多少条关系以实现任意一所学校都能覆盖所有学校。样例展示了问题的输入输出格式,并提到了IOI1996竞赛背景。

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描述

一些学校连接在一个计算机网络上。学校之间存在软件支援协议。每个学校都有它应支援的学校名单(学校 a 支援学校 b ,并不表示学校 b 一定支援学校 a )。当某校获得一个新软件时,无论是直接得到还是网络得到,该校都应立即将这个软件通过网络传送给它应支援的学校。因此,一个新软件若想让所有连接在网络上的学校都能使用,只需将其提供给一些学校即可。
任务
请编一个程序,根据学校间支援协议(各个学校的支援名单),计算最少需要将一个新软件直接提供给多少个学校,才能使软件通过网络被传送到所有学校;
如果允许在原有支援协议上添加新的支援关系。则总可以形成一个新的协议,使得此时只需将一个新软件提供给任何一个学校,其他所有学校就都可以通过网络获得该软件。编程计算最少需要添加几条新的支援关系。

输入

第一行是一个正整数 n,表示与网络连接的学校总数。 随后 n 行分别表示每个学校要支援的学校,即:i+1 行表示第ii号学校要支援的所有学校代号,最后 0 结束。
如果一个学校不支援任何其他学校,相应行则会有一个 0。一行中若有多个数字,数字之间以一个空格分隔。

输出

包含两行,第一行是一个正整数,表示任务 a 的解,第二行也是一个正整数,表示任务 b 的解。

样例输入

5
2 4 3 0
4 5 0
0
0
1 0

样例输出

1
2

提示

2≤n≤100。

标签

IOI1996


就是一个tarjan求强连通分量的板题。
求出来之后根据连通分量的数量维护答案就行了。
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
using namespace std;
struct Node{
    
    int v,next;}e[N<<2];
int first[N],dfn[N],low[N],ru[N],sig=0,chu[N],col[N],cnt=0,tot=0,n;
stack<int>S;
inline int read(){
    
    
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	whil
<think>嗯,用户让我继续写“4. Tarjan 算法解析”,我需要先回想一下之前的内容是否已经介绍过Tarjan算法的背景。如果这是系列文章的一部分,用户可能之前已经讲解了其他算法,比如Kosaraju或Gabow,现在轮到Tarjan了。不过用户可能没看过前面的部分,所以我得先简要说明Tarjan算法是用来做什么的。 Tarjan算法主要用于寻找有向图中的强连通分量(SCCs),对吧?那它的核心思想是基于深度优先搜索(DFS)和栈结构的应用。这时候需要解释清楚强连通分量的定义,确保读者明白这个概念。比如,强连通分量是指图中的最大子图,其中任意两个节点可以互相到达。 接下来,我需要分解算法的步骤。首先,Tarjan算法使用DFS遍历图中的每个节点,维护两个关键数组:索引数组index和low值数组。index记录节点被访问的顺序,而low值表示当前节点能够回溯到的最早的节点索引。这一步可能需要详细说明,比如每个节点初始化时index和low都被设置为初始值,比如-1或者未访问状态,然后在DFS过程中更新。 然后,当某个节点的low值等于index值时,说明找到了一个强连通分量的根节点。这时需要将栈中该节点及之后入栈的节点弹出,组成一个强连通分量。这里可能需要解释栈的作用,即用来存储当前路径上的节点,帮助确定哪些节点属于同一个SCC。 接下来,可能需要举例说明。例如,一个简单的有向图,通过Tarjan算法的步骤,展示如何标记index和low值,何时弹出栈中的节点形成SCC。这样读者可以更直观地理解算法的执行过程。 还要提到算法的时间复杂度,Tarjan算法的时间复杂度是O(V + E),线性时间,这是它的优势之一,适用于大规模图处理。同时,对比其他算法如Kosaraju,可能需要提到Tarjan算法只需一次DFS,而Kosaraju需要两次,但用户可能不需要这部分对比,除非特别说明。 另外,注意是否需要代码示例。如果用户希望深入实现,可能需要提供伪代码或者具体编程语言的示例,比如Python或Java。但用户可能只需要解析,所以伪代码可能更合适,加上注释解释关键步骤。 可能遇到的常见问题,比如如何处理未访问的节点,栈的状态管理,以及如何正确更新low值。例如,当遇到已访问但仍在栈中的节点时,如何更新当前节点的low值,这需要详细说明,避免读者混淆。 此外,是否需要讨论应用场景?比如在编译器优化、社交网络分析中寻找强连通分量,或者用于其他图论问题,比如2-SAT问题的求解。这些应用可以增强读者对算法重要性的理解。 还要注意术语的准确性,比如“强连通分量”是否正确,是否有其他变体,比如在无向图中的连通分量,但Tarjan算法主要处理有向图的情况。需要明确这一点,避免混淆。 最后,是否需要总结Tarjan算法的优缺点?比如优点高效,缺点实现相对复杂,需要维护多个数据结构和状态。或者是否要提到Tarjan的其他算法,比如用于最近公共祖先(LCA)的算法,但这里可能无关,需专注于SCC部分。 总之,结构大致分为:简介、算法思想、详细步骤、示例说明、复杂度分析、应用场景、可能的代码实现或伪代码,以及总结。需要根据用户的深度需求调整详细程度,但用户现在要求的是“解析”,所以应该较为详细地分步骤讲解,并确保逻辑清晰。###</think> 4. Tarjan 算法解析 Tarjan 算法由 Robert Tarjan 于 1972 年提出,是一种基于深度优先搜索(DFS)的高效算法,用于**寻找有向图中的强连通分量(Strongly Connected Components, SCCs)**。其核心思想是通过一次遍历,同时记录节点的访问状态和回溯信息,实现线性时间复杂度(O(V+E))。 --- #### **核心概念** 1. **强连通分量(SCC)** 有向图中的一组节点,其中任意两个节点均可通过路径互相到达,且这组节点是“最大”的(无法添加其他节点后仍保持强连通性)。 2. **关键数据结构** - **索引(Index)**:记录节点被 DFS 访问的顺序(类似时间戳)。 - **Low 值**:记录当前节点通过非父子边(回边)能回溯到的最早祖先节点的索引。 - **栈(Stack)**:临时存储当前 DFS 路径上的节点,辅助判断 SCC。 --- #### **算法步骤** 1. **初始化** - 为每个节点维护两个数组:`index[]`(访问顺序)和 `low[]`(回溯能力)。 - 使用栈存储当前路径上的节点,并用 `onStack[]` 标记节点是否在栈中。 2. **DFS 遍历** - 对未访问的节点启动 DFS,分配 `index` 和 `low` 初始值(如递增的时间戳)。 - 遍历邻接节点: - 若邻接节点未访问,递归 DFS,并更新当前节点的 `low` 值为 `min(low[current], low[neighbor])`。 - 若邻接节点已在栈中(属于当前路径),更新 `low` 值为 `min(low[current], index[neighbor])`。 3. **识别 SCC** - 当回溯到某个节点时,若其 `low == index`,说明它是当前 SCC 的根节点。 - 从栈中弹出节点,直到根节点出栈,弹出的所有节点构成一个 SCC。 --- #### **示例说明** 以有向图 `A→B→C→A, C→D→E, E→D` 为例: 1. DFS 访问 A→B→C,C 发现回边到 A(`low[C] = min(low[C], index[A]) = 0`)。 2. 回溯到 B、A 时更新 `low`,直到根节点 A 满足 `low[A] == index[A]`,弹出 A、B、C 组成 SCC {A,B,C}。 3. 继续访问 D→E,E 发现回边到 D(`low[E] = index[D]`),回溯到 D 时满足 `low[D] == index[D]`,弹出 D、E 组成 SCC {D,E}。 --- #### **代码框架(Python 风格伪代码)** ```python def tarjan(u): index[u] = low[u] = global_index global_index += 1 stack.push(u) onStack[u] = True for v in graph[u]: if index[v] == -1: # 未访问 tarjan(v) low[u] = min(low[u], low[v]) elif onStack[v]: # 已访问且在栈中 low[u] = min(low[u], index[v]) if low[u] == index[u]: # 发现 SCC 根节点 scc = [] while True: v = stack.pop() onStack[v] = False scc.append(v) if v == u: break result.append(scc) ``` --- #### **复杂度与应用** - **时间复杂度**:O(V+E)每个节点和边仅访问一次。 - 编译器依赖分析(如代码优化)。 - 社交网络中的社群发现。 - 解决 2-SAT 问题等。 --- #### **优势与局限** - **优势**:无需预先知道图的结构,单次 DFS 即可完成。 - **局限**:递归实现可能导致栈溢出(可通过迭代 DFS 优化)。 通过维护 `index` 和 `low` 的巧妙设计,Tarjan 算法将 SCC 的发现过程无缝嵌入到 DFS 中,成为图论中的经典范例。
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