Nobel 恒等式

Nobel恒等式的大意如下：先进行抽取或者插值，再进行线性滤波

                                          先进行线性滤波，再进行抽取或者插值

这两者是可以等价的。首先说这里的抽取和插值指的是数字意义上的，并没有后面的低通滤波来恢复原来的信号。插值插得就是零。

这个道理其实很简单：如果先过线性滤波，再抽取，那么抽取掉的那些个样点是没必要在线性滤波的时候算的。所以可以这样：以matlab程序来说吧：

>> a = [1 2 3 4];

>> h = [5 6 7 8];

>> conv(a, h)

ans =

     5    16   34    60    61   52    32

>> r1 = conv([1 3], [6 8])

r1 =

     6    26   24

>> r2 = conv([2 4], [5 7])

r2 =

    10    34   28

可以看到r1+r2就是对于线性滤波输出的抽取。这也就是多相分解。

再来看插值。如果先插值，再过线性滤波，那么对于那些插入的零是没必要算的，也就有了下面：

>> a = [1 2 3 4];

>> h = [5 6 7 8];

>> a_in = [1 0 2 0 3 0 4];

>> conv(a_in, h)

ans =

     5     6   17    20    29   34    41    48   28    32

>> r1 = conv(a, [5 7])

r1 =

     5    17   29    41    28

>> r2 = conv(a, [6 8])

r2 =

     6    20   34    48    32

可以看到，r1和r2进行pingpang式的输出便就是插值再滤波后的输出。

说白了，这玩意就是对于有零参与的卷积运算的一个化简过程。over