QEM网格简化算法学习

《Surface Simplification Using Quadric Error Metrics》这篇论文介绍了一种网格简化的算法，通过“edge contraction”（边收缩）的方法来简化网格。边收缩的结果就是将两个顶点合成一个顶点，因此可以按照任意的顶点数目去简化网格。

假设有一个二次函数 $\Delta (\mathbf{v})={\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}$ 可以描述顶点$\mathbf{v}$的“变形程度”，这篇论文的算法目的就是最小化总体的“变形程度”，即：
$$\text{minimize}\sum _{\mathbf{v}}{\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}$$
但是由于直接最小化不太现实，因为顶点数目会发生改变，所以这篇论文的算法步骤是这样的：

1. 对每个顶点计算其初始的 $\mathbf{Q}$，满足 ${\mathbf{v}}^T\mathbf{Qv}=0$ ；
2. 保存所有合法的“点对”，包括所有的边对应的点对，以及距离小于一定阈值的顶点对；
3. 对于每个合法的点对（${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$），生成合成的顶点${\mathbf{v}}_s$，这一步边收缩的代价为$\Delta ({\mathbf{v}}_s$