HDU4335-----What is N?-----数论

最新推荐文章于 2017-10-03 22:13:00 发布

dr5459

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分类专栏：数学

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本文提供了一道HDU ACM竞赛题目的详细解答过程，该题涉及欧拉函数、幂次模运算及循环节等概念。通过分析n^n!%p=b的解的数量，分为n!小于、等于、大于欧拉函数值三种情况讨论，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335

题目意思：

给你三个数b,p,m

问你满足0<=n<=m 且n^n!%p==b的n有多少个

解题思路：

主要考察

a^x % c = a^(x % phi(c) + phi(c)) %c 其中x>= phi(c)

phi(c)为欧拉函数

第一部分 n! < phi(c) 这时就需要直接计算n! ，好在phi(c)不会很大。

第二部分 n! >= phi(c) 但是 n! % phi(c) != 0 这一部分同样需要暴力计算，不过可以进行取模运算了，不会出现非常大的数

第三部分n! >= phi(c) 并且n! % phi(c) == 0 这一部分就转化为了 n^phi(c) % c 然后就变成了(n % c) ^ phi(c) % c 那么就成了一个长度为c的循环节了

具体见代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

#define ULL unsigned long long

//打表求欧拉函数
const int maxp = 100000+20;
ULL phi[maxp];
void phi_table()
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1] = 1;
    for(int i=2;i<maxp;i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            for(int j=i;j<maxp;j+=i)
            {
                if(!phi[j])
                    phi[j]=j;
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

ULL euler_phi(ULL p)
{
    ULL m = (ULL)sqrt(p+0.5);
    ULL ans = p;
    for(ULL i=2;i<=m;i++)
    {
        if(p%i==0)
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(p%i==0)
                p/=i;
        }
    }

    if(p>1)
        ans = ans/p*(p-1);
    return ans;
}


ULL power(ULL a,ULL x,ULL p)
{
    ULL ret = 1;
    a = a%p;
    while(x>0)
    {
        if(x&1)
            ret = ret*a%p;
        a = a*a%p;
        x = x/2;
    }
    return ret;
}



int main()
{
    //phi_table();
    int T;
    int ca=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ULL b,p,m;
        cin>>b>>p>>m;

        //这种情况的结果会超过ULL的范围，所以要特判
        if(b==0 && p==1 && m==18446744073709551615ULL)
        {
            printf("Case #%d: 18446744073709551616\n",ca++);
            continue;
        }
        ULL _phi = euler_phi(p);
        ULL ans = 0;
        if(b==0)
            ans++;
        ULL sum=1;

        //先看n!%phi!=0的,当n!<phi时，MOD之后肯定不为0
        for(ULL i=1;i<_phi&&i<=m;i++)
        {
            sum = sum*i%_phi+_phi;
            if(power(i,sum,p) == b)
                ans++;
        }

        //然后再从phi到m,但是我们注意到后面n!%phi==0,则方程就是i^phi%p==b
        //则(i+kp)^phi%p==b,则看从i开始到m之间隔了几个p的长度
        for(ULL i=_phi;i<_phi+p&&i<=m;i++)
        {
            if(power(i,_phi,p)==b)
            {
                ans+=(m-i)/p+1;
            }
        }
        cout<<"Case #"<<ca++<<": "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}