从零开始学数据分析之——《线性代数》第三章 n维向量

最新推荐文章于 2025-03-25 10:30:00 发布

doubleyue1314

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文章标签：线性代数数据分析算法数据挖掘

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3.1 n维向量及其运算

3.1.1 n维向量的概念

定义：n个数 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ 组成的一个有序数组 $\alpha =(a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n)$ 称为一个n维向量，其中第 $i$ 个数 $a_i$ 称为向量 $\alpha$ 的第 $i$ 个分量 $(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n).$

分量全为零的向量称为零向量，记为0.

3.1.2 向量的线性运算

向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算

$k\alpha =0\Leftrightarrow k=0 or \alpha =0$

3.2 向量间的线性关系

3.2.1 向量的线性组合

1.线性组合

定义：设 $\beta,\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _n$ 是一组m维向量。如果存在数 $k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_n,$ 使关系式

$\beta =k_1\alpha _1+k_2\alpha _2+\cdot \cdot \cdot k_n\alpha _n$

成立，则称 $\beta$ 是向量组 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ 的线性组合，或称 $\beta$ 可由向量组 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ 线性表示，称

$k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_n$ 为一组组合系数。

性质：

1）零向量可以由任意向量组线性表示

2）向量组中任一向量可由向量组表示

3）任一向量可由 $\varepsilon _1=(1,0,\cdot \cdot \cdot ,0),\varepsilon _2=(0,1,\cdot \cdot \cdot ,0),\cdot \cdot \cdot ,\varepsilon _n=(0,0,\cdot \cdot \cdot ,1)$ 线性表示

2.向量组的等价

定义：设有两个向量组

$\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _n$

$\beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot,\beta _m$

两个向量组可以相互线性表示，表示两个向量组等价。

性质：

1）发射性：任一向量组与它自身等价

2）对称性：若 $\left \{ \alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _m \right \} \cong \left \{ \beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot ,\beta _n \right \}$ ,则 $\left \{ \beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot ,\beta _n \right \}\cong \left \{ \alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _m \right \}$

3）传递性：若 $\left \{ \alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _m \right \} \cong \left \{ \beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot ,\beta _n \right \}$ ，且 $\left \{ \beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot ,\beta _n \right \}\cong \left \{ \gamma _1,\gamma _2,\cdot \cdot \cdot ,\gamma _s \right \}$ ，则 $\left \{ \alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _m \right \}\cong \left \{ \gamma _1,\gamma _2,\cdot \cdot \cdot ,\gamma _s \right \}$

3.2.2 向量的线性相关与线性无关

1.线性相关与线性无关

定义：设 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ 为n个m维向量。如果存在一组不全为零的数 $k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_n,$ 使得

$k_1\alpha _1+k_2\alpha _2+\cdot \cdot \cdot k_n\alpha _n=0$

成立，则称向量组 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ 线性相关，而 $k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_n,$ 为一组相关系数；否则，称向量组 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ 线性无关

结论：1）向量组中两向量成比例，则这个向量组必线性相关

2）含零向量的任意向量组必相关

3）一个零向量必线性相关

4）一个非零向量必线性无关

5）一个向量 $\alpha$ 线性相关的充要条件是 $\alpha = 0$

推论：部分组线性相关则整体组线性相关

整体组线性无关则部分组线性无关

一个线性无关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加一些分量所得到的高维向量组仍线性无关

一个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去一些分量所得到的低维向量组仍线性相关

2.线性组合和线性相关定理

定理：

1） $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s(s\geqslant 2)$ 线性相关的充要条件：至少一个向量可由其余向量表示

2） $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 线性无关， $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s,\beta$ 线性相关，则向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$

线性表示，且表示唯一

3）替换定理：若 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 线性无关，且可由 $\beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot,\beta _t$ 线性表示，则 $s\leqslant t$ ；并且可适当排列向量的次序，使得向量组

$\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s,\beta _{s+1},\cdot \cdot \cdot ,\beta _t$

与向量组 $\beta _1,\beta _2,\cdot \cdot \cdot,\beta _t$ 等价。

推论：1）若m>n, 则m个n维向量必线性相关

2）n+1个n维向量必线性相关

3）两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量

3.3 向量组的秩

3.3.1 极大线性无关组

定义：如果向量组

$\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r,\alpha _{r+1},\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ （1）

的部分组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r$ 满足

1） $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r$

2）向量组（1）中的每个向量都可以由 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r$ 线性表示

则称 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r$ 为向量组（1）的一个极大线性无关组，简称极大无关组

定理：向量组

$\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r,\alpha _{r+1},\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ （1）

的部分组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r$ 是极大无关组的充要条件是

1） $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _r$ 线性无关

2）向量组（1）中任意r+1个向量都线性相关

定理：一个向量组的任意两个极大无关组，都含有相同个数的向量

3.3.2 向量组的秩

定义：向量组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 的任一极大无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为 $r(\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s)$

全是零向量的向量组的秩为零

注：1）对任何向量组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ ，均有 $0\leqslant r(\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s)\leqslant$ {向量的个数和维数的较小者}

2）向量组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 线性无关 $\Leftrightarrow r=s$

3）向量组 $\alpha _1,\alpha _2,\cdot \cdot \cdot ,\alpha _s$ 线性相关 $\Leftrightarrow r<s$

3.3.3 矩阵的行秩与列秩

定义：行向量的秩称为行秩，列向量的秩为列秩

定理：矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩

定理：矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩，从而 $r(AB)\leqslant minr\left \{ (A),r(B) \right \}$

3.3.4 极大无关组的求法

初等行变换不改变矩阵列向量组间的线性关系

求法：

1）不管原向量是行或列，均按列构成矩阵

2）只做初等行变换，化为行简化阶梯形

3）首非零元所在列做极大线性无关组

4）其余向量表示系数直接写出来