从零开始学数据分析之——《线性代数》第五章矩阵的的特征值

最新推荐文章于 2025-10-19 18:57:32 发布

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#线性代数 #数据分析 #数据挖掘 #算法

5.1 矩阵的特征值与特征向量

5.1.1 矩阵的特征值与特征向量

定义：设A是n阶方阵，若对于数 $\lambda _0$ ，存在非零列向量 $\alpha$ ，使得

$A\alpha =\lambda _0\alpha$

则称 $\lambda _0$ 为矩阵A的一个特征值， $\alpha$ 为矩阵A的对应于特征值 $\lambda _0$ 的特征向量

定义： $\left | \lambda E -A \right |$ 称为A的特征多项式， $\left | \lambda E -A \right |=0$ 称为A的特征方程

5.1.2 特征值与特征向量的基本性质

性质：

1）n阶矩阵A与其转置矩阵 $A^T$ 有相同的特征值

2）设n阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的n个特征值为 $\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _n$ ，则有

(1) $\sum_{i=1}^{n}\lambda _i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$ (迹)

（2） $\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _n=\left | A \right |$

3）n阶矩阵A可逆的充要条件是A的所有特征值都不等于零

4）n阶矩阵A的互不相同的特征值 $\lambda _1,\lambda _2,\cdot \cdot \cdot ,\lambda _m$ 对应的特征向量

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