鸽巢原理的一个应用

最新推荐文章于 2020-09-29 14:41:09 发布

原创最新推荐文章于 2020-09-29 14:41:09 发布 · 694 阅读

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有m个数a₁,a₂,...a_m, 证明存在0<=k<l<=m，使得a_k+1+a_k+2+...a_l能被m整除

证明：

构造m个和de在

a₁,a₁+a₂,...,a₁+a₂+...+a_m

则这m个和，除m之后的余数必然在1,2,...m-1这些数中。

但又因为m个和，却只会产生m-1个余数，因此必然有两个序列的和的余数相同

不妨设

a₁+a₂+...+a_k=bm+p (1)

a₁+a₂+...+a_l=cm+p (2)

这里假设l>k

则（2）-（1）得

a_k+1+a_k+2+...+a_l=(c-b)m 能被m整除

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