鸽巢原理 应用

 两个碟子，其中一个比另一个小，它们均被分成200个恒等的扇形。在大碟子中任选100个扇形并涂成红色；而其余的100个扇形则涂成兰色。在小碟子中，每一个扇形或涂成红色或涂成兰色，所涂红色扇形和兰色扇形的数目没有限制。然后，将小碟子放到大碟子上面使两个碟子的中心重合。证明，能够将两个碟子的扇形对齐使得小碟子和大碟子上相同颜色重合的扇形数目至少是100。

 

证明：假设小碟有   m   个红色，n   个兰色。很明显   m   +   n   =   200 
那么，对于每种确定了涂色方案的大碟和小碟，通过旋转小碟，它们共有   200   种可能的对应方式。 

对于大碟里某一个确定的扇形， 
假设它是红色，那么在这   200   次的对应中，该扇形共有   m   次是遇上同色的； 
同样，对于兰色的扇形，在   200   次的对应里，共有   n   次遇上同色的小扇形。 

大碟的红、兰扇形各   100，这样，在   200   种可能的对应里，共有   100m   +   100n   次同色的扇形，即共   100(m+n)   =   100   *   200   =   20000   次。 
因此平均起来，每种对齐方式的同色扇形数目为   100。 
所以，至少有一种对齐方式，其同色扇形数   > =   100