9.最小路径和（medium）

1.题目链接：

https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/description/https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/description/

2.题目描述：给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：​

     输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]​
     输出：7​
     解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。​
3. 解法（动态规划）：
算法思路：
像这种表格形式的动态规划，是非常容易得到「状态表示」以及「状态转移方程」的，可以归结到「不同路径」一类的题里面。

1. 状态表示：
        对于这种路径类的问题，我们的状态表示一般有两种形式：

i.	从 [i, j]  位置出发，巴拉巴拉；​

  ii. 从起始位置出发，到达 [i, j]  位置，巴拉巴拉。​这里选择第二种定义状态表示的方式：
dp[i][j]  表示：到达 [i, j]  位置处，最小路径和是多少。​

2. 状态转移：
        简单分析一下。如果 dp[i][j]  表示到达 到达 [i, j]  位置处的最小路径和，那么到达           [i, j]  位置之前的一小步，有两种情况：​

i.	从 [i - 1, j]  向下走一步，转移到 [i, j]  位置；​

ii. 从 [i, j - 1]  向右走一步，转移到 [i, j]  位置。​
由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最小路径，因此只需要这两种情况下的最小值，再加上[i, j] 位置上本身的值即可。

也就是：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

3. 初始化：

可以在最前面加上一个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：i.   辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加一行」，并且「添加一列」后，所有位置的值可以初始化为无穷大，然后让 dp[0][1] = dp[1][0] = 1  即可。​

4. 填表顺序：
根据「状态转移方程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每一行，每一行「从左往后」。

5. 返回值：
        根据「状态表示」，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。​

Java算法代码：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        // 1.创建dp表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = 0x3f3f3f;
        for(int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = 0x3f3f3f;
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;

        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j =1; j <= n; j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j],dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

运行结果：

动态规划：