倍增算法

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【序言】

        我认为吧，所有能够优化复杂度的算法都是神奇的，所有能够化繁琐为形象的文字都是伟大的。一直觉得倍增算法是个很神奇的东西，所以决定写点东西纪念一下它。但是作为一个非常不称职的OIER，我非常讨厌在看别人的算法解析时整版的i，j，k等我看到鼠标就惯性移到右上角的符号语言，所以我想用最形象的方式来纪念它。

 

【一】

        从前，有一只可爱得不得了的小白兔，它想从A地去往遥远的B地。

 

        2B小白兔：

            向右边跳一步，左边跳一步，再向右边跳很多步，再……（对不起，这个太脑残了）

        普通小白兔：

            向右边跳一步，再跳一步，再跳一步……再跳一步，哇，到了！好开心！

        超级小白兔：

            向右边跳一大步，一步跳到B，然后默默回头，鄙视一下那只一步一步跳的小白兔。

 

        我相信作为一个正常人，是不会考虑到2B小白兔的这种做法的，因为它太脑残了。

        同时我也相信，作为一个正常人，也不会考虑到超级小白兔的这种做法的，因为……

            “我擦！你什么时候说可以这样跳了！（愤怒）”

            “我什么时候说不可以了！（卖萌）”

        但是你不得不承认，超级小白兔还是有两把刷子的，因为它真的是太厉害了，厉害得你想都没有想到。

 

【二】

        从前，有一只可爱得不得了的小白兔，它想从A地去往遥远的B、C、D、E、F这几个让它魂牵梦萦的地方。（不要问我从哪里来，我的梦想在远方）

 

 

        2B小白兔：

            （对不起，我的生命有限，我不想再提到它了）

        普通小白兔：

            一步又一步，生命不息，跳跃不止。

        超级小白兔：

            一步到B，再一步到C，再一步到D，再一步到E，再一步到F，完工。

 

        你不用解释，我深知你就想当那只超级小白兔，哼，你肯定是那样跳的。（神马？不是？兄弟你的智商我救不了了……）

        是的，不这样跳的人对不起社会啊，浪费时间就是浪费青春，浪费青春就是犯罪。

        好的，既然你是这样跳的，那你能告诉我你是怎么知道从A只要跳2个格子就会刚好到B的？难道你在空中使用了GPRS全球卫星定位系统？你少来好么！主页君现在都没用过这种东西，你一只白白嫩嫩下酒菜的小兔子还用这个？笑死我吗？哈哈，你一定是出发前就偷偷学普通兔子一步一步跳过一遍，然后拿个本子做小抄，记录好从每个格子跳任意步会到达的地方，然后赶在天亮之前回来，风光的按照踩点计划大步的跳，让我们觉得你很厉害的样子，我没说错吧？不过看在你有这个诚心的份上，还是为你的聪明鼓掌吧。

 

【三】

        从前，有一只可爱得不得了的小白兔，它想从A地去往遥远的1（此处省略很多0）个地方，因为它真的是太没事情做了。

 

 

        普通小白兔：

            从离开家门的那天起，我就没有想过要放弃一步一步地跳往终点。（嗯，加油）

        超级小白兔：

            轻轻松松，绝不多走一步。（哼哼）

 

        你想知道最后的结果吗？呵呵，好像还没有出结果……

        写给普通小白兔的话：

            亲爱的小白兔，我知道你勇毅，你质朴，但是，苦海无涯，回头是岸。

        写给超级小白兔的话：

            我不知道你的小抄本是否还够用，我不知道你摸着黑就出门是为了什么，你不觉得你的行踪早就已经暴露了吗？你以为你很聪明吗？不，你错了，你就一下酒菜，永远都是，因为你不知道倍增算法，这是你失败的根源，再见，我心中永远不会逝去的蠢兔子。

 

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        普通兔子 = 速度慢，无资源损耗 || 超级兔子 = 速度快，多资源损耗

 

        还记得那只离我们远去的2B兔子吗？对，其实我们早该想到了，越蠢得不可思议的兔子身上竟然有巨大的宝藏，再看看它的名字吧，“2B”！去掉一个“B”！就是“2”！对，你没有听错，就是“2”，你能想到4、8、16、32吗？

        再想想，超级兔子的小抄本不够用，不就是因为它为了应对所有的目的地信息，它记录下了任何一个格子跳任意步会到达的格子，100个格子它要记录大概5000条信息，1000个格子大概要记录500000条信息，10000个格子它大概要记录50000000条信息，至于你晕没晕，我相信它应该晕了。

        可不可以把记录的信息数降到最低呢？当然可以，2B兔子帮你忙，让你用2战胜敌人。

        当你只记录任何一个格子跳1、2、4、8、16……步会到达的格子的时候，你有没有发现信息数突然少了好多好多啊！真的少了好多好多啊！100个格子只要500条左右，1000个格子只要5000条左右，10000个格子只要50000条左右，不比不知道，一比吓一跳啊！

        安心小抄五十年，健康生活一辈子。

        从此，超级小白兔成为了聪明小白兔，它的生活是这样的：

 

        在夜深人静的时候，它偷偷出门做小抄，记录下从每个格子跳1、2、4、8……个格子后会到达的格子，然后在太阳出来后，它在众目睽睽之下，开始了表演。

        从A出发：若跳8个格子（超过B了，放弃）

                  若跳4个格子（超过B了，放弃）

                  若跳2个格子（没超过B，跳吧）

                  若跳1个格子（没超过B，跳吧）

        从B出发：…………

 

        多么轻松的事情，只要一本很薄的小抄就可以了，最关键的是：它绝对不会连着跳两步都是跳相同的格子数，因为如果跳两次2个格子都是可行的话，那么它干嘛不跳4个格子捏？

        我们可是从多到少来判断的啊！！

 

        好的，聪明小白兔白天的事情你已经看懂了，且看它晚上是怎么打小抄的吧。

        从A出发跳1步到1（记录下来）

        从1出发跳1步到2（记录下来）

        …………（跳1步的记录完毕）

 

        从A出发跳2步？就是从A出发跳1步再跳1步的到的地方，翻看小抄，直接誊写从1出发跳1步会到的2这个格子作为A跳2步会到的格子。

        从1出发跳2步？跟刚才一样，直接誊写。

        …………（跳2步的记录完毕）

 

        从A出发跳4步？你还真去跳4步？不，它也就是等于从A出发跳2步到的2号点再跳2步会到的格子，那么我们直接誊写2号格子跳2步会到的格子就可以了。

        ……

        ……

 

        看看聪明小白兔多么聪明！也许还有自认为更聪明的：

            “在记录A跳4步会到的格子的时候，为什么不直接从A跳4步看到了哪里再记录下来呢？跳4步跟跳1步的代价不是一样的么”

            “我这样回答你好了！把你丢在纽约的一个公交车站，问你一条线路的下一个站是什么？你怎么办？当然是自己亲自走到下一个站就知道了！那如果问你接下来的第4个站是什么？难道你可以直接走到第4个站而不用途径其它的站点了吗？这不现实，你还是要一个一个站的走，因为关键在于你只能知道你目前所在站点的下一个站是什么，想知道下下个站，除非你已经到了下个站，兔子跳格子也跟这类似，虽然聪明小白兔神通广大，但是不至于伟大到可以提前预知跳几步会到哪里啊！！”

 

        从此，聪明小白兔避免了成为人类的下酒菜，而被一群OIER们像神一样的供奉了起来，不要问它为什么，因为它也不知道，貌似只是某人卖了个小萌，事情就变成这样了。