笛卡尔方法论和解析几何的诞生

引序：动机和参考书

我从高中开始就读笛卡尔的哲学著作，并自以为学得精通，从高中考试到辅导小小数学，分析 TCP 性能，一直倾向于用坐标系解决一切问题，且效果非常不错，我自以为得道。

笛卡尔哲学在于怯魅，分析，演绎，验证，是典型的还原论实践哲学，这种认知论对现代科学起到了启明星的作用，实属现代科学的第一推动。

笛卡尔在自己的书中曾说，与其去基于别人论说中的结论去学习思考，不如按照自己的演绎去从实践中解决问题的过程中去学习思考，因为前一种方法中，如果假设是错的，你只能陷入混沌而不自知，而后一种方法中，只要有错误，现实马上就会惩罚你。

我也一直想写一篇读后感，阐述一下我的收获和总结，但一直没有时间。屡次搬家，书买了一版又一版，书早就读过，写就是只需要花点时间了，今天花了两小时，作此文。
这些书如下：

• 书 1：《笛卡尔几何》笛卡儿 著，科学素养文库·科学元典丛书，北京大学出版社，2008 年版。
• 书 2：《笛卡尔哲学原理》斯宾诺莎 著，汉译世界学术名著丛书，商务印书馆，2019 年版。
• 书 3：《整体性与隐缠序》戴维·玻姆 著，汉译世界学术名著丛书，商务印书馆，2022 年版。

方法论基础：《方法谈》四大原则

笛卡尔在 1637 年出版的《谈谈方法》中提出了一套科学研究四步法方法论：

• 普遍怀疑：抛开所有未经证实的假设，仅接受不可置疑的事实。
  • 最终导出唯一终极真理，“我思故我在”，不容置疑。
• 分析分解：将复杂问题拆解为简单部分逐一解决。
  • 这是解析(分析)法之基础，它 “指出一条真正的道路，在该道路上，对象可以顺序地仿佛先天地被认识”，这种秩序的描述就是笛卡尔序。
• 逻辑演绎：通过清晰的推理从已知原理推导新结论。
  • 使用基本的，正则的，令人确信不疑的工具，从基本的现象开始进行推演，比如加减乘除之法，使得这种 “普遍数学” 可以描述复杂到整个世界的秩序。
• 综合验证：将局部结论整合为完整体系，并检验一致性。

这一方法论的核心是 “理性主义”，即相信人类可以通过逻辑和数学工具（如代数）精确描述自然世界。因此，该方法论之目标是建立一门 “普遍数学”，即用统一的数学语言描述所有自然现象。

笛卡尔认为，几何学的直观图形和代数的抽象符号都需服从这种理性框架。

笛卡尔对传统几何学的批判

笛卡尔在研究几何时发现：

• 古典几何(欧几里得体系)依赖直觉灵感，缺乏统一运算规则。
  • 正如我在给小小辅导几何题时所抱怨的，辅助线需要技巧，想不到就做不出，这不是在考察一个人是否有能力工作，而是在考察一个人是否足够聪明，或恰好记住了某些看到过的技巧。
• 复杂问题(如圆锥曲线)需要繁琐的构造，难以推广。
  • “书 1” 中有案例所述，笛卡尔本人曾抱怨，虽然 1000000 边形客观上是存在的，但又如何靠感官直觉去描述它的推论，更何况通过一系列约束条件描述的复杂曲线，如何依赖欧几里得式的直觉技巧去解题。

这促使笛卡尔思考：​“能否用更普适的语言（代数）代替几何图形的直觉描述？”，因为代数具有一种机械化运算的力量，该力量可以突破直觉之外的蛮荒，比如通过一系列约束条件描述的复杂曲线，帕普斯问题为其一实例。

实践突破：坐标系的引入

笛卡尔在 1637 年的《方法谈》附录之一《几何学》中，首次系统阐述了坐标系的朴素概念。而这并非有意为之，仿佛要建立一个体系，以至于前面所有的工作都只是它的伏笔一样。恰恰相反，坐标系只是笛卡尔方法论的一个具体实现案例。

就仿佛笛卡尔说，让我们看一个简单例子来说明我的方法论，“。32ef@E（。，hfewbvq”，笛卡尔相当于用他的方法论中的方法做了一道传统的古典几何题，做完题后，从事后看，他展示了一个朴素的坐标系。

帕普斯问题的古典描述

帕普斯问题是古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》中提出的一个经典几何题。这一问题在数学史上具有里程碑意义，因为它直接启发了笛卡尔创立解析几何(事后看)。

问题的古典表述

帕普斯在《数学汇编》第七卷中提出一个关于平面几何轨迹的问题，如下：

给定三条（或更多）直线，求满足某种距离比例关系的点的轨迹。

• 若平面上有三条直线，一点到其中两条直线的距离的乘积，与到第三条直线的距离乘以某固定长度(如第三条直线的某一常数段)成比例，求该点的轨迹。
• 在四直线的情形中，问题扩展为：
  • 到其中两条直线的距离的乘积，与到另外两条直线距离的乘积成比例，求满足此条件的点的轨迹。

历史背景与数学挑战

• 帕普斯的动机：帕普斯试图推广古希腊几何学中的经典轨迹问题。他观察到，对于三线或四线的情形，轨迹可能是圆锥曲线，但当时缺乏统一的方法描述这些曲线。
• 古典几何的局限：古希腊几何依赖纯几何构造和比例理论，难以系统处理多直线、高次曲线的问题。帕普斯的问题暴露了传统几何方法在复杂轨迹分析中的不足。

笛卡尔解题法

原题

题解

笛卡尔假定 C 已经找到，他试图用代数关系去理清几何的位置关系，令 AP = x，CP = y，… 最终他用已知量表示出了 CR，CQ，CS，代入 CP·CR = CS·CQ 就得到了一个代数关系式：

$y^2=A\cdot y+B\cdot xy+C\cdot x+D\cdot x^2$

其中，A，B，C，D 为由已知量组成的简单代数式，具体参见 “书 1” 的第一章 11 页。

根据这个不定方程，任给一个 x 值，按《几何》卷 1 中的方法(书 1 第一章 9～11 页)，就立即可用直线和圆规画出一个 y。由于 x 可以任取，直线段 y 的一个端点 C 就相应画出了一条曲线。

后世评述

后世在事后看来，在这个具体问题中，为确定 C 的位置，笛卡儿选直线 AG 为基线，相当于一根坐标轴，点 A 为起点，相当于原点，x 是从起点量起的一根线段的长度，y 是另一根线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成固定角 β，这可以看成另一根坐标轴，随 x 不同而改变位置，但与基线 AG 交角始终不变。

笛卡儿在我们面前展现的就是这样一个朴素的斜角坐标系。我们知道，如今的坐标系中 β = 90 度，即平面直角坐标系，但本质和笛卡尔斜角坐标系一致，正交 90 度处理只是后来人为了代数运算方便而做的优化。

有个小争议，费马也曾独立提出类似思想，但未公开发表详细推导，因此后世还是认为笛卡尔创立了解析几何，但费马也同样伟大。

我的评述

阅读原著原文，笛卡尔自己并没有刻意强调坐标系，他甚至自己都不知道这个概念，但从他的解题过程可见，他确实在 “导出一个长度在一根基线上的度量和在另一根线上度量的关系”，这便是后世函数概念的源泉。

方法论到解析几何的路径

我将上述的文字总结如下表：

哲学方法	数学实现
普遍怀疑	批判传统几何的局限性，寻求更普适工具
分析分解	将几何图形分解为坐标点与方程的组合
逻辑演绎	从代数基本定理推导几何性质，如各类曲线方程
综合验证	用坐标法重构经典几何定理

然后是我的一些评述。

笛卡尔几何评述

笛卡尔的解析几何看似偶然发明但并非偶然，而是其哲学方法论的必然产物。

他认为代数规则是机械的，几何关系是玄幻并充满技巧的，依照他的方法论，他必然会将玄幻复杂的几何问题拆解成可以用机械手段推演的代数问题(规则 2)，用理性分析的确定性取代传统几何的直观模糊性，这个过程中产生坐标系是自然而然的。

这种思想不仅革新了数学，更标志着人类开始用统一的理性框架探索自然，这是笛卡尔哲学在科学领域的终极实践。

万物皆可度量

笛卡尔坐标系是一个世界坐标系，该坐标系中 “万物皆可度量”。

当我们说到点 (x, y) 时，x，y 指的是一种在带有刻度的坐标标尺上的度量值，机械论的实质就在这里。万事万物尽可拆解成一系列维度的度量，置于世界坐标系，然后接受笛卡尔分析综合的方法论(规则 2，3)推演，形成结论。从此以后，再难的问题都可以化为一种机械的数学运算，只要接受过运算规则训练的人均可完成，这威力好比列装弩机之于弓箭的降维打击，直接将人类科技推入现代。直到现在我依然记得中学物理老师的一句话，“大段大段整理数学式子是一个数理工作者必须掌握的能力”，类似工地工人的搬砖能力。

笛卡尔哲学指引下，分析之于综合占优，万事万物均可拆解成简单对象，然后通过可公度度量运算规则 “运算” 它们，就是一个机械流的过程。不久之后，牛顿，莱布尼兹等人的微积分直接构建在坐标系下，彻底改变了科学研究的方式，自然界被怯魅，不再神秘。

一种证明叫分析的，他 “指出一条真正的道路，在该道路上，对象可以顺序地仿佛先天地被认识”。另一种证明是综合的，“它利用一连串的界说，公设，公理，命题和提问，因此要否定结论中的某些东西，它立即会表明，这些要否认的东西已包含在前提之中了。它就用这种方法征服了读者的反对和固执，强迫他们同意” (书 2 序言第 3 页)

亚里士多德，笛卡尔，整体性和隐缠序

认知论一直在发展，过去固然有缺陷，当今也未必完美，我们只能趋向真理，但永远不能达到。

在笛卡尔机械论(其方法论之大成)之前，以亚里士多德为宗主的 “物性自然” 论为主导，比如物体为什么会掉落到地上，因为物体属土，要回归大地，而气体升天则因为气体属气，要回归天。

笛卡尔方法论的怀疑一切将所有不确信知识排除，将问题解构成基本的度量和代数运算，物性自然论被抛弃了，机械论开始主导，牛顿的时代开始，世界由笛卡尔序主宰。

相对论挑战了笛卡尔序，细节不述，但推荐一本书，书 3。为突破笛卡尔序的局限，玻姆提出隐缠序理论：

• 隐缠序：宇宙的本质是一种内在折叠的整体，所有事物通过动态过程相互包含，如全息图的每一部分隐含整体信息。
• 显析序​：笛卡尔序描述的分离、静态现象只是隐缠序的暂时展开形式​，如海浪是海洋动态过程的显化。

书 3 认为，世界是一个整体，不能分割成简单的度量和运算，如此一来很多笛卡尔序约束下的难题就能迎刃而解，这种思想不可不察，但无奈有点晦涩，知识和能力有限，我难以读懂。我只能读读《易经》和《道德经》，从中找出一个相似和因果。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。