23、水中的色散与波：相速度、群速度及数值模拟

水中的色散与波：相速度、群速度及数值模拟

1. 色散、相速度与群速度基础

在许多物理波现象中，恢复力会随波长变化，这种情况下，我们称介质具有色散性。例如，当白光通过玻璃棱镜时，会形成多色光带，这就是色散现象。这是因为不同波长的光在玻璃中传播速度不同，体现了玻璃对光的色散特性。

1.1 相速度

相速度是指恒定强度激光束（或理想谐波）在介质中传播的速度。对于电磁波（光）在玻璃中的相速度，有公式：
[v_p = c_{glass} = \frac{c_0}{n(\lambda)}]
其中，(c_0) 是真空中的光速，(c_{glass} = v_p) 是光在玻璃中的速度，也就是光在玻璃中的相速度，(n(\lambda)) 是与波长相关的折射率。从玻璃折射率与波长的关系图可知，随着波长减小，相速度减小，这种现象称为正常色散。

对于常见的单色波 (A \cos(kx - \omega t))，其相速度为：
[v_p = \frac{\omega}{k}]

1.2 群速度

在光纤通信中，我们常发送一系列光脉冲；在无线电通信中，也会对无线电波进行调制，形成一个个“波群”。这些脉冲或波群在光纤或大气中的传播速度与恒定强度激光束不同，它们以群速度传播。

一般来说，电磁波的相速度和群速度差异较小。但在水面上，当我们扔一块石子时，群速度仅为水波相速度的一半。因此，区分相速度和群速度非常重要。

相速度 (v_p)、（角）频率 (\omega) 和波数 (k) 之间的关系为：
[\omega = v_p k]
当没有色散时，(v_p) 与 (k) 无