16、通用因果关系函数与拟合近似因果关系

通用因果关系函数与拟合近似因果关系

在科学研究和数据分析中，发现变量之间的因果关系是一项重要任务。本文将探讨通用因果关系函数的构建以及如何通过拟合来近似因果关系。

通用因果关系函数

当规则的因果关系为 $X \to Y$ 形式时，在某些情况下可以通过特定函数进行完美拟合。例如，已知 $p(y_1) = 0.59$，$p(y_2) = 0.24$，$p(y_3) = 0.17$，对应的观测状态为 $(0.7, 0.2, 0.1)$，状态编码器 $EX(a) = 107020$，代入近似函数 $F(a)$ 后可得到相应结果，且通过解码器能得到与原概率一致的结果，即 $||P(YZ) - P(YP)|| = 0$。

对于更一般的情况，若要解决 Case - II 和 Case - III 中的因果关系近似问题，可构建接近特定方程的多项式函数。当方程中无 非多项式函数时，可估计一个近似函数，理想情况下该函数应满足 $||k_2E_X^2(a) + k_1E_X(a) + k_0 - E_Y(aM_{Y|X})|| < \varepsilon$（其中 $\varepsilon > 0$ 足够小），或者使 $f’(k_2, k_1, k_0) = \sum_{a\in S(X)}(k_2E_X^2(a) + k_1E_X(a) + k_0 - E_Y(aM_{Y|X}))^2$ 或 $f(k_2, k_1, k_0) = \sum_{a\in \Omega(X)}(k_2E_X^2(a) + k_1E_X(a) + k_0 - E_Y(aM_{Y|X}))^2$ 的值最小。

通过数学分析中的极值原理，可得到以下定理：
- 定理 5.9 </