3、贝塞尔样条曲线：原理、连续性条件与构建算法

贝塞尔样条曲线：原理、连续性条件与构建算法

1. 德卡斯特里奥算法

德卡斯特里奥算法是一种快速且稳健的方法，用于从控制点 $b_i$（$i = 0, \cdots, k$）构建 $k$ 次贝塞尔曲线。该算法基于连续线性插值技术，是递归的。

1.1 算法步骤

给定 $(k + 1)$ 个控制点 $b_0, \cdots, b_k$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中，以及 $t \in [0, 1]$：
1. 初始化：$b_i^0 = b_i$，$i = 0, \cdots, k$。
2. 递归计算：对于 $j = 1, \cdots, k$ 和 $i = 0, \cdots, k - j$，有 $b_i^j = (1 - t)b_i^{j - 1} + tb_{i + 1}^{j - 1}$。
3. 最终结果：贝塞尔曲线 $\beta_k(t; b_0, \cdots, b_k)$ 上的点为 $b_0^n$。

1.2 算法公式总结

• 初始化：$b_i^0 = b_i$，$i = 0, \cdots, k$
• 递归式：$b_i^j = (1 - t)b_i^{j - 1} + tb_{i + 1}^{j - 1}$，$i = 0, \cdots, k - j$，$j = 1, \cdots, k$
• 曲线点：$\beta_k(t; b_0, \cdots, b_k) = b_0^n$

1.3 示例说明

图 2.3 展示了德卡斯特里奥算法在构建二次和三次贝塞尔曲线时的迭代步骤和中间点。