7、运动学基础：旋转矩阵、位置、速度与加速度解析

运动学基础：旋转矩阵、位置、速度与加速度解析

1. 旋转矩阵的参数化

1.1 旋转顺序对矩阵的影响

在运动学中，旋转矩阵的顺序会对结果产生影响。当顺序反转时，关联 𝔸 和 𝔻 框架的旋转矩阵会发生变化。例如，原始顺序下的旋转矩阵 (R_{\mathbb{A}}^{\mathbb{D}}) 与反转顺序后的 ((R_{\mathbb{A}}^{\mathbb{D}})_{\text{reversed}}) 不同。

原始顺序下，若进行小角度近似（(\sin\theta\approx\theta)，(\sin\phi\approx\phi)，(\cos\theta\approx1)，(\cos\phi\approx1)），矩阵简化为：
(R_{\mathbb{A}}^{\mathbb{D}} =
\begin{bmatrix}
1 & \theta & \phi \
\theta & 0 & 1 \
-\phi & 1 & 0
\end{bmatrix})

反转顺序后，简化为：
((R_{\mathbb{A}}^{\mathbb{D}})_{\text{reversed}} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \theta \
\theta & \phi & 1 \
-\phi & 1 & 0
\end{bmatrix})

由于 (\theta) 和 (\phi) 是小角度，它们的乘积 (\phi\theta\a