27、机器人系统稳定性分析与控制方法

机器人系统稳定性分析与控制方法

1 稳定性理论高级技术

在研究机器人系统的稳定性时，首先引入了一些基本概念。设 (B_{\delta}(0)) 是一个以原点为中心、半径为 (\delta) 的开球，即 (B_{\delta}(0) = {x \in \mathbb{R}^2||x| < \delta})。若 (x_0 \in B_{\delta}(0))，根据某个边界条件（这里未详细提及的 (6.2)），当 (t \to \infty) 时，(|x| \to 0)，这表明闭环系统在原点处的平衡是指数稳定的。实际上，由于 (\delta) 可以任意选取，原点是全局指数稳定的。

在研究简单机器人系统的稳定性时，之前的章节介绍了稳定性、渐近稳定性和指数稳定性的定义。例如在某些例子中，通过直接求解闭环控制方程来研究原点处平衡的稳定性；或者将运动方程乘以 (\dot{x}_1) 并对时间积分，找到一个守恒量，以此来研究不同平衡点的稳定性。

然而，对于实际的机器人系统，求解闭环控制方程的解析解往往非常困难，甚至不可行。因此，使用显式解析解来设计和研究反馈控制律通常不切实际。不过，通过识别能量等守恒量来研究稳定性的策略可以推广到许多实际的机器人系统中，这就是 Lyapunov 直接方法。

2 Lyapunov 直接方法

2.1 相关定义

• 类 (\mathcal{K}) 函数 ：一个连续函数 (f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+) 属于类 (\mathcal{K})，需满足以下三个条件：
  1. (f(0) = 0)；