24、Yao图对Theta图的跨度研究

Yao图对Theta图的跨度研究

1. 基本概念

在图论的研究中，Yao图（Y6）和Theta图（Θ6）是两个重要的图结构。我们通常会忽略边的方向，因为在Y6中确定的生成路径是无向的。对于Y6中的边ab，只有在特定上下文中有重要意义时，才会提及它的有向版本（$\overrightarrow{ab}$ 或 $\overrightarrow{ba}$）。

若两条边共享一个公共点，则称它们相交；若公共点不是端点，则称它们交叉。对于任意两点a和b，用 $\pi(a, b)$ 表示Y6中从a到b的路径，$|\pi(a, b)|$ 表示该路径的长度；对于Θ6中的路径，使用下标Θ，即 $\pi_{\Theta}(a, b)$ 表示Θ6中从a到b的路径。同时，用⊕表示连接运算符。

1.1 基本引理

• 定理1 ：对于任意两点a, b ∈ P，Θ6中存在一条总长度不超过2|ab|的路径。
• 命题1 ：凸四边形abcd的交叉对角线长度之和严格大于任意一对对边长度之和，即：
• |ac| + |bd| > |ab| + |cd|
• |ac| + |bd| > |bc| + |da|
  这可以通过对由对角线ac和bd形成的两对相对三角形应用三角形不等式来推导。
• 引理1 ：对于Y6中的两条边 $\overrightarrow{ab}$ 和 $\overrightarrow{xy}$，若b ∈ $C_i(a)$ 且y ∈ $C_i(x)$（其中1 ≤ i