12、链接构建问题的恒定因子近似算法

链接构建问题的恒定因子近似算法

在网络世界中，网页的重要性评估是一个关键问题。PageRank算法作为一种经典的网页排名方法，为我们提供了衡量网页重要性的有效手段。而链接构建问题则聚焦于如何通过添加特定的链接来提升目标节点的PageRank值，这在优化网页排名等方面具有重要的实际意义。

1. 相关背景知识

PageRank算法由Brin和Page等人提出，其核心思想是将指向网页的链接视为对该网页重要性的投票。一个来自重要网页的链接对接收方的价值要高于来自不重要网页的链接。

我们考虑无权重的有向图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 表示网页集合，$E$ 表示网页之间的超链接。在这个图上定义了一种随机冲浪者游走模型：
- 冲浪者在每一步选择一个新节点访问。若当前位于节点 $u$，则下一步选择节点的规则如下：
- 以概率 $\alpha$（典型值为 $0.85$），随机选择 $u$ 的一个出链 $(u, v)$ 并访问 $v$。若 $u$ 是没有出链的汇点，则随机选择图中任意节点 $v$ 访问。
- 以概率 $1 - \alpha$，随机选择图中任意节点 $v$ 访问，这被称为“zapping”。

由于新节点仅依赖于当前在图中的位置，所以访问页面的序列构成一个马尔可夫链。其状态空间为 $V$，转移概率矩阵 $Q$ 可表示为 $Q = \frac{1 - \alpha}{n} 1_{n,n} + \alpha P$，其中 $P$ 是由图 $G$ 的邻接矩阵导出的矩阵，$1_{n,n}$ 是所有元素都为 $1$ 的 $n \times n$ 矩阵。

这个马尔可夫链具有周期性和不可约性，因此存在唯一的平稳概率分布 $