2、障碍物存在下 k 发射机的覆盖问题研究

障碍物存在下 k 发射机的覆盖问题研究

1 引言

在实际场景中，常常需要使用发射机来覆盖整个平面，但同时会存在各种障碍物，如正交线段、断头台细分区域或嵌套凸多边形等。本文将探讨在这些障碍物存在的情况下，不同类型发射机覆盖平面所需的数量问题。

2 平面覆盖问题

2.1 正交线段情况

当障碍物是 n 条不相交的正交线段时，我们考虑使用不同类型的发射机来覆盖整个平面。
- 1 - 发射机情况
- 定理 1 ：为了在 n 条不相交的正交线段存在的情况下覆盖平面，⌈(5n + 6)/12⌉个 1 - 发射机总是足够的，而⌈(n + 1)/4⌉个有时是必要的。
- 证明思路 ：
- 下界 ：由 n 条平行线可知，单个 1 - 发射机只能覆盖 n + 1 个区域中的 4 个，从而确定下界。
- 上界 ：从线段集合 S 中移除一组独立的线段（即没有覆盖射线会连续穿过其中两条），对于剩余线段取一组常规发射机，将这些发射机升级为 1 - 发射机即可覆盖原线段集合 S 对应的整个平面。
- 具体步骤 ：
- 不妨假设线段已被扩展（保持内部不相交），使得每条线段的每个端点要么延伸到无穷远，要么位于另一条线段上。这样线段将平面划分为 n + 1 个矩形面。
- 定义可见性图 G(S)，其顶点为 S 中的每条线段，若两条线段 s 和 t 弱可见（即存在 s 内部的点 p 和 t