二分图最大(基数)匹配以及与其等价的几个问题

一.最大独立点集的定义
给定无向图G(V,E)，其中A为顶点集合V的子集，且E∩{(i,j) | i,j∈A}=空集.
求A，使得|A|最大

二.最小顶点覆盖集的定义
给定无向图G(V,E)，一个顶点覆盖集(vertex covering)是指顶点集S(S为V的子集)，使得G中任一条边(x,y)至少有一端点在S中.
求S，使得|S|最小

三.最大完全子图的定义
给定无向图G(V,E)，其中C为顶点集合V的子集，对于任意两个点i,j∈C，且i≠j，有(i,j)∈E.
求C，使得|C|最大

四.三者的等价性
(1)最大独立点集与最小顶点覆盖集的等价性
假设A为G(V,E)的一个独立点集，令B=V-A，则B为V的子集.
那么很容易就可以得出这样的结论：对于任意一条边(i,j)∈E，有i∈B或j∈B
所以B是图G(V,E)的顶点覆盖集
于是|A|=|V|-|B|，也就是说最大独立点集与最小顶点覆盖集是等价的两个问题.
在这个转化过程中就用到了点的“补集转化”——用点集V减去求解目标集合A，以得到新的目标集合B
(2)最大独立点集与最大完全子图的等价性
假设C为G(V,E)的一个完全子图
令全集U={(i,j) | (i,j)∈V}，令E'=U－E，
则在无向图G'(V,E')中，有E∩{(i,j)| i,j∈C}=空集，所以C也是图G'的最大独立点集。

五.二部图中的最大独立点集/最小顶点覆盖集/最大完全子图/最大(基数)匹配
对于普通图而言，最大独立点集/最小顶点覆盖集/最大完全子图都是NPC问题。
但对于二分图/二部图/偶图来说