用遗传算法破解一元函数最大值问题：从原理到 MATLAB 实现

最新推荐文章于 2025-12-17 00:30:59 发布

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在优化问题的世界里，很多函数并非呈现出简单的线性或凸性特征，传统的求导等解析方法往往难以奏效。比如形如f(x) = 3x + 6cos²(5x) + 7sin(4x)的复杂函数，其图像布满了多个局部极值点，想要找到全局最大值，就需要借助更具 “探索性” 的算法。遗传算法正是这样一种受生物进化启发的智能优化方法，它能模拟自然选择、交叉和变异的过程，在解空间中高效搜索最优解。本文将以求解上述一元函数在x∈[20,30]范围内的最大值为例，详细讲解遗传算法的原理，并通过完整的 MATLAB 代码实现，带大家一步步见证算法的优化过程。

一、问题背景：我们要解决什么？

首先明确本次优化的核心目标：在x∈[20,30]的区间内，找到使得目标函数f(x) = 3x + 6cos²(5x) + 7sin(4x)取得最大值的x值及对应的函数值。

为什么这个问题需要遗传算法？我们可以简单分析目标函数的特性：

函数包含线性项3x，会随x增大而单调递增；
同时包含三角函数项6cos²(5x)和7sin(4x)，这两个项会带来高频的波动，使得函数图像呈现出 “整体上升、局部震荡” 的特征，产生大量局部极值点。

传统方法（如梯度上升法）很容易陷入某个局部最大值，而遗传算法通过 “种群进化” 的方式，能在多个可能的解之间进行选择和迭代，更大概率找到全局最优解。

二、遗传算法核心原理：模拟生物进化的 “智能搜索”

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）的灵感来源于达尔文的生物进化论，核心思想是 “适者生存、优胜劣汰”。它将每个可能的解（即x值）编码为 “染色体”，多个染色体组成 “种群”，通过选择、交叉、变异三个核心操作，让种群一代一代进化，最终筛选出适应度最高的个体（即最优解）。

1. 关键概念对应

为了更好地理解算法逻辑，我们先建立 “算法术语” 与 “生物进化” 的对应关系：

生物进化概念	遗传算法概念	本次问题中的具体含义
个体	染色体	一个二进制编码，对应一个可能的`x`值
种群	染色体集合	多个二进制编码组成的集合，对应多个候选`x`值
适应度	函数值	候选`x`代入目标函数得到的`f(x)`值，值越大适应度越高
自然选择	选择操作	优先保留适应度高的染色体，淘汰适应度低的染色体
基因重组	交叉操作	两个染色体交换部分 “基因”（二进制位），产生新的染色体
基因突变	变异操作	染色体的某个 “基因”（二进制位）随机翻转（0 变 1 或 1 变 0），增加种群多样性