机器学习----PCA降维

原创已于 2025-08-18 09:31:28 修改 · 1.9k 阅读

31 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#机器学习 #人工智能

于 2025-08-17 19:30:00 首次发布

该文章已生成可运行项目，

一、PCA是什么？

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是机器学习中最常用的降维技术之一，它通过线性变换将高维数据投影到低维空间，同时保留数据的最重要特征。PCA由卡尔·皮尔逊于1901年发明，如今广泛应用于数据可视化、特征提取和噪声过滤等领域。

二、PCA的数学原理

1.1 向量与内积

PCA的核心建立在向量运算基础上。给定两个n维向量：

它们的内积定义为：

A⋅B=a1b1+a2b2+⋯+anbn=∣A∣∣B∣cos(θ)

其中θ是两向量夹角，|A|表示向量模长：

几何意义：当|B|=1时，A·B表示A在B方向上的投影长度。

1.2 基与基变换

在n维空间中，基是一组线性无关的向量，任何向量都可表示为基的线性组合。标准正交基满足：

每个基向量模长为1
任意两个不同基向量正交（内积为0）

基变换公式：设旧基为e1,e2,...,en，新基为p1,p2,...,pn，向量v在新基下的坐标为：

其中P的行向量由新基向量组成。

2.1 优化目标

给定m个n维数据点X=[x1,x2,...,xm]，PCA寻找k维(k<n)子空间，使得：

1.最大方差准则：投影后数据方差最大化

2.最小重构误差：重构数据与原数据误差最小化

这两个目标实际上是等价的。

2.2 协方差矩阵

数据经过中心化处理后（均值为0），协方差矩阵为：

其元素Cij表示第i维和第j维特征的协方差：

2.3 特征值分解

PCA的关键是对协方差矩阵C进行特征值分解：

其中：

Λ是对角矩阵，对角元素λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ λₙ为特征值
P的列向量是对应的特征向量，构成新的正交基

方差解释：第i个主成分的方差等于λᵢ，总方差为∑i=1nλi

2.4 降维过程

选择前k个最大特征值对应的特征向量组成投影矩阵Pk，降维数据：

重构数据：

3. PCA算法步骤

3.1 理论步骤

数据标准化：每维特征减去均值

2.计算协方差矩阵：

3.特征值分解：

4.选择主成分：按特征值从大到小排序，选择前k个

5.数据投影：

3.2 数值稳定性考虑

实际计算中，常使用奇异值分解(SVD)代替特征值分解：

此时：

右奇异矩阵V的列向量即为主成分方向

奇异值σᵢ与特征值关系：λi=σi2/m

三、PCA代码

1. PCA的Python实现

1.1 数据准备

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt

# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 数据标准化
X_centered = X - X.mean(axis=0)

1.2 使用scikit-learn实现PCA

from sklearn.decomposition import PCA

pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)

print("解释方差比:", pca.explained_variance_ratio_)
print("累计解释方差:", np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))

2.项目实战

. 项目概述

本项目使用PCA(主成分分析)对鸢尾花数据集进行降维处理，然后使用逻辑回归进行分类，并比较降维前后的分类效果。

2. 代码实现与分析

2.1 数据准备与PCA降维

from sklearn.decomposition import PCA
import pandas as pd

# 数据读取
data = pd.read_excel(".\hua.xlsx")

# 数据划分
X = data.iloc[:,:-1]  # 特征
y = data.iloc[:,-1]   # 标签

# PCA实例化与训练
pca = PCA(n_components=0.90)  # 保留90%的方差
pca.fit(X)  # 训练PCA模型

# 输出PCA结果
print('特征所占百分比:{}'.format(sum(pca.explained_variance_ratio_)))
print(pca.explained_variance_ratio_) 

# 数据降维
new_x = pca.transform(X)
print('PCA降维后数据:')
print(new_x)

2.2 数据分割与模型训练

from sklearn.model_selection import train_test_split

# 数据分割
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(
    new_x, y, test_size=0.2, random_state=0)

# 逻辑回归模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
classifier = LogisticRegression()
classifier.fit(x_train, y_train)

# 预测
train_pred = classifier.predict(x_train)
test_pred = classifier.predict(x_test)

print("训练集预测结果:", train_pred)
print("测试集预测结果:", test_pred)

2.3 评估指标

from sklearn.metrics import classification_report

# 训练集评估
print("训练集分类报告:")
print(classification_report(y_train, train_pred))

# 测试集评估
print("测试集分类报告:")
print(classification_report(y_test, test_pred))

3. PCA原理回顾

PCA(主成分分析)是一种常用的降维方法，其核心思想是通过线性变换将高维数据投影到低维空间，同时保留尽可能多的原始数据信息。

3.1 PCA关键步骤

1.数据标准化：将每个特征减去其均值

2.计算协方差矩阵：反映特征间的相关性

3.特征值分解：获取特征值和特征向量

4.选择主成分：按特征值大小排序，选择前k个

5.数据转换：将原始数据投影到主成分空间

3.2 数学原理

PCA的核心数学操作是协方差矩阵的特征分解：

通过找到矩阵P使得：

是一个对角矩阵，且对角元素按从大到小排列。

4. 结果分析与比较

4.1 降维前后模型性能比较

我们可以比较使用PCA降维前后模型的性能差异：

# 不降维的模型
x_train_raw, x_test_raw, y_train_raw, y_test_raw = train_test_split(
    X, y, test_size=0.2, random_state=0)

classifier_raw = LogisticRegression()
classifier_raw.fit(x_train_raw, y_train_raw)

raw_train_pred = classifier_raw.predict(x_train_raw)
raw_test_pred = classifier_raw.predict(x_test_raw)

print("原始数据训练集分类报告:")
print(classification_report(y_train_raw, raw_train_pred))
print("原始数据测试集分类报告:")
print(classification_report(y_test_raw, raw_test_pred))