HDU - 5868 Different Circle Permutation （Polya定理+欧拉函数优化+矩阵快速幂）

题目：就是n个点围成一个圈，每个人都可染成黑或者白，任意相邻的两个人不可以染成黑色，并且循环同构，问染色的方案数。

思路：polya计数，先算一下得到长度为 k 的方案数，可以发现（我没发现）  ：f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 7，是斐波那契数列，考虑矩阵快速幂来算，然后由于n非常大需要优化，k 作为gcd贡献的数量就是eular(n/k)，用欧拉函数优化。

不知道为什么只知道是什么，看了一晚上终于明白了点。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
struct node{
    ll m[2][2];
    node()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
node Mul(node a,node b)
{
    node c;
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        for(int j=0;j<2;j++)
        {
            c.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
            {
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod;
                c.m[i][j]%= mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

node Pow(node t,int p)
{
    node ans;
    memset(ans.m,0,sizeof(ans.m));
    for(int i=0;i<2;i++)
        ans.m[i][i]=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ans=Mul(ans,t);
        t=Mul(t,t);
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
ll f(int n)
{
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 3;
    node a,c;
    a.m[0][0] = 1,a.m[0][1] = 1;
    a.m[1][0] = 1,a.m[1][1] = 0;

    c.m[0][0] = 3,c.m[0][1] = 0;
    c.m[1][0] = 1,c.m[1][1] = 0;

    node ans=Mul(Pow(a,n-2),c);
    return ans.m[0][0];
}
ll qmod(ll x,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
ll eular(ll n)
{
    ll ans=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    if(n%i==0)
    {
        ans-=ans/i;
        while(n%i==0)
            n/=i;
    }
    if(n>1) ans-=ans/n;
    return ans;
}
int n;
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n==1)
        {
            puts("2");
            continue;
        }
        ll ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                ans=(ans+f(i)*eular(n/i)%mod)%mod;
                if(i*i!=n)
                    ans=(ans+f(n/i)*eular(i)%mod)%mod;
            }
        }
        ans=ans*qmod(n,mod-2)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}