POJ 3041--Asteroids

• 此题考察最小顶点覆盖：对于集合U是点集V的子集，且G中的每条边都与U中的一个顶点相关联，则U为E的一个顶点覆盖。
• 可以证明：二分图中最小顶点覆盖为图G中的最大基数匹配。
• 二分图(X,Y)最大匹配，依次从每个X中的点（行中的点）搜索增广路径：

1. 搜索其每个在Y中的邻接点，若访问过转到下一邻接点，若都访问过返回0。 若在路径前进中没访问过则置Y中的点VIS为TRUE，检查其在X中是否有match，因为算法执行顺序的问题,其最开始进入时match[next] < now。
2. 若match等于0，则说明此点还没有match，更新其match为now,返回true。
3. 若已match过，则从match[next即X中的点又开始搜索增广路径，重复步骤1。

• 在算法迭代的过程中，只有最后搜索到一个Y中的邻接点没有match过才依次返回1，更新match，且matchNum每从源点搜索一次只能增加一个。通过对Vis的处理，可以对DFS进行剪枝，极大改善时间复杂度。

1.  每次从源点出发都更新全部VIS,如果没访问过，则置其为true， 再往下搜索时就不需要再搜索此点。   36MS
2. 在每次最大匹配前更新全部VIS,当邻接点没访问过时置其为true，只有当此邻接点match更新时，再把它置为FALSE，因为可能在接下来的源点搜索时此点时match还可能更新。而如果从此点往下搜索已经不能更新，即此点有match但从此match往下搜索时返回0,则以后的源点碰到此点时，会遇到相同的结果，也就不再需要访问了。  0ms 

•  结论：一个Y中的点i，若vis[i]被置为true过,则now = match[i]在之后一定存在，且若在迭代返回后其值保持不变则说明now的所有邻接点都有match。
• 证明：

1. 首先证明在对一个Y中的点i判别时为true，则它必有match，（false的不一定没有match）。因为置为TRUE以后要么i没有match则马上生成其match，若有match则继续往下递归，若递归返回1则更新match，若返回0，其match值不变。
2. 反证：若now中不是所有邻接点都有match，设j为其中之一点，利用第一个的逆否命题，则其必有vis[j]为false，且match[j] = 0,则find_path(now)会返回1，即vis[i]又被置为FALSE，与条件矛盾。得证。所以再沿着vis为true的路径走，会重复之前return 0的路径。

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
#define MaxV 501

int vertexNum,edgesNum;
vector<vector<int> > adj;
bool vis[MaxV];
int matchY2X[MaxV];
int matchNum;

int find_path(int now)
{
	int i;
	int next;
	int size = adj[now].size();
	for(i = 0;i < size;i++)
	{
		next = adj[now][i];
		if(!vis[next])
		{
			vis[next] = true;
			if(matchY2X[next] == 0||find_path(matchY2X[next]))
			{
				matchY2X[next] = now;
				vis[next] = false;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int maxMatch()
{
	int i;
	matchNum = 0;
	memset(vis,0,sizeof(bool)*(vertexNum+1));
	for(i = 1;i <= vertexNum;i++)
	{
		if(!adj[i].empty())
		{
			if(find_path(i))
			matchNum++;
		}
	}
	printf("%d\n",matchNum);
	return 0;
}

int main()
{
	int i;
	int row,column;
	while(scanf("%d%d",&vertexNum,&edgesNum)!=EOF)
	{
		vector<vector<int> >().swap(adj);
		adj.resize(vertexNum+1);
		memset(matchY2X,0,sizeof(int)*(vertexNum+1));
		for(i = 0;i < edgesNum;i++)
		{
			scanf("%d%d",&row,&column);
			adj[row].push_back(column);
		}
		maxMatch();
	}
	return 0;
}