POJ 1840--Eqs-优快云博客

本文探讨了一种利用Hash表优化解决特定类型复杂方程组的方法，通过空间换时间策略，显著降低了计算复杂度，从10^10次枚举减少到O(10^6)。文章详细解释了对称优化技巧，包括减少不必要的乘法运算和利用绝对值简化求解过程。最后提供了C语言实现的示例代码。

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此题要求所有满足方程的整数非零解，若直接枚举是10^10。
很容易想到Hash，以空间换时间，将方程进行简要变换：a1x1³+ a2x2³ = -1*(a3x3³+ a4x4³+ a5x5³)。

首先枚举左边方程的所有可能结果，以相乘之后和的值作为Hash的key映射到slot中，slot中存的数据为此结果的个数(不同的x1和x2可能有相同的结果)。
然后枚举方程右边的解，若在hash表中找到相同的值则结果加加。复杂度为O（10^6）。

对称优化：

首先为了节省乘法资源(FPGA的习惯，C里面作用不大)，左右两边方程进行枚举时，变量都不需要直接枚举[-50,50]的空间，有3/4的立方运算都是多余的，如x1 = 5,x2 = 6;x1 = -5,x2 = 6;x1 = -5,x2 = -6,x1 = 5,x2 = -6的乘法我们都可以只计算5^3,6^3，再进过变换得来。所以每个变量枚举时只需要枚举[1,50]的区间，再经过变换得到其它三个值。
然后其实上面的变换有一半也是多余的，即是我们只需要计算(5,6)以及(5,-6)，但要对上述方程左右两边取绝对值，方程的解得个数为由此计算结果的两倍。

证明：设X = (x1,x2)，Y = (x3,x4,x5)，若(X,Y)为原方程的解，则(X,Y)(X,-Y)(-X,Y)(-X,-Y)都为绝对值方程的解，且绝对值方程的解只能由原方程的解变换而来，所以绝对值方程的解是原方程解得两倍。但是通过程序计算的解中完全没有包含X，Y的相反数，也即是只包含了上面四个解中的一个，所以程序计算的解的个数是原方程解的个数的二分之一。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxN 139919
#define cube(x)   (x*x*x)
#define base 12500000
#define maxM 25000000



struct node
{
    int sum;
    short num;
    node* next;
}* hashTab[maxN];


int hashInsert(int tmpSum)
{
    tmpSum = abs(tmpSum);
    int slot = tmpSum%maxN;
    node* tmpNode;
    for(tmpNode = hashTab[slot];tmpNode != NULL;tmpNode = tmpNode->next)
    {
        if(tmpNode->sum == tmpSum)
        {
            tmpNode->num++;
            return 0;
        }
    }
    tmpNode = new node;
    tmpNode->sum = tmpSum;
    tmpNode->num = 1;                  //初始化为0错误
    tmpNode->next = hashTab[slot];
    hashTab[slot] = tmpNode;
    return 0;
}

short hashCheck(int tmpSum)
{
    tmpSum = abs(tmpSum);
    if(tmpSum <= base)
    {
    int slot = tmpSum%maxN;
    node* tmpNode;
    for(tmpNode = hashTab[slot];tmpNode != NULL;tmpNode = tmpNode->next)
    {
        if(tmpNode->sum == tmpSum)
            return tmpNode->num;
    }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    short i,j,k;
    int tmpSum,resultNum;
    int tmpProduct[3];
    short a[5];
    resultNum = 0;
    memset(hashTab,0,sizeof(hashTab));
    for(i = 0;i < 5;i++)
        scanf("%hd",a+i);
    for(i = 1;i <= 50;i++)
    for(j = 1;j <= 50;j++)
    {
        tmpProduct[0] = a[0]*cube(i);
        tmpProduct[1] = a[1]*cube(j);
        tmpSum = tmpProduct[0]+tmpProduct[1];
        hashInsert(tmpSum);
        tmpSum = tmpProduct[0]-tmpProduct[1];
        hashInsert(tmpSum);
    }
    for(i = 1;i <= 50;i++)
    for(j = 1;j <= 50;j++)
    for(k = 1;k <= 50;k++)
    {
        tmpProduct[0] = a[2]*cube(i);
        tmpProduct[1] = a[3]*cube(j);
        tmpProduct[2] = a[4]*cube(k);
        tmpSum = tmpProduct[0]+tmpProduct[1]+tmpProduct[2];
        resultNum += hashCheck(tmpSum);
        tmpSum = tmpProduct[0]+tmpProduct[1]-tmpProduct[2];
        resultNum += hashCheck(tmpSum);
        tmpSum = tmpProduct[0]-tmpProduct[1]-tmpProduct[2];
        resultNum += hashCheck(tmpSum);
        tmpSum = tmpProduct[0]-tmpProduct[1]+tmpProduct[2];
        resultNum += hashCheck(tmpSum);
    }
    printf("%d\n",resultNum*2);
    return 0;
}