[BJWC2010] 严格次小生成树（kruskal+lct）

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动态树LCT

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本文介绍了一种在树上维护区间最大值和次大值的算法，通过将边权视为点并使用链剖分技术，实现了O(mlogm)的时间复杂度。文章详细展示了如何利用旋转和懒标记进行区间更新，并提供了完整的C++代码实现。

具体思路大家可以看一下
这个
就是维护一下树上的区间最大值和次大值
因为是边权，所以我们可以把边看成点
然后正常维护就可以
复杂度是 $O (m l o g m)$ ，但是因为 $l c t$ 常熟巨大，所以在洛谷上会T两个点，要吸氧才能水过

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
# define debug puts("QAQ");

typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-7;

template <typename T> void read(T &x){
	x=0;int f=1;
	char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
	x*=f;
}

# define int long long

int n,m;
int fa[N],son[N][2],_max[N],__max[N],val[N];
int s[N],f[N];
int sum,ans=1e18;
bool vis[N],tag[N];

struct Edge{
	int x,y,c;
	bool operator < (const Edge &cmp)const{
		return c<cmp.c;
	}
}e[N<<1];

int find(int x){
	if(f[x]==x)return x;
	return f[x]=find(f[x]);	
}

bool isroot(int x){
	return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x;	
}

bool locate(int x){
	return son[fa[x]][1]==x;	
}

void reverse(int x){
	swap(son[x][0],son[x][1]);
	tag[x]^=1;	
}

void update(int x){
	if(_max[son[x][0]]==_max[son[x][1]]){
		_max[x]=_max[son[x][0]];
		__max[x]=max(__max[son[x][0]],__max[son[x][1]]);
	}
	else{
		_max[x]=max(_max[son[x][0]],_max[son[x][1]]);
		__max[x]=max(max(__max[son[x][0]],__max[son[x][1]]),min(_max[son[x][0]],_max[son[x][1]]));	
	}
	if(val[x]>_max[x])__max[x]=_max[x],_max[x]=val[x];
	else if(val[x]>__max[x])__max[x]=val[x];
}

void pushdown(int x){
	if(tag[x]){
		if(son[x][0])reverse(son[x][0]);
		if(son[x][1])reverse(son[x][1]);
		tag[x]=0;
	}
}

void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y],side=locate(x);
	fa[x]=z;
	if(!isroot(y))son[z][son[z][1]==y]=x;
	son[y][side]=son[x][side^1];
	if(son[x][side^1])fa[son[y][side]]=y;
	son[x][side^1]=y,fa[y]=x;
	update(y),update(x);	
}

void splay(int x){
	int y=x,top=0;
	s[++top]=y;
	while(!isroot(y))y=fa[y],s[++top]=y;
	while(top)pushdown(s[top--]);
	while(!isroot(x)){
		int y=fa[x];
		if(!isroot(y))rotate(locate(x)==locate(y)?y:x);
		rotate(x);
	}
	update(x);
}

void access(int x){
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),son[x][1]=y,update(x);	
}

void makeroot(int x){
	access(x),splay(x);
	reverse(x);	
}

int findroot(int x){
	access(x),splay(x);
	while(son[x][0])pushdown(x),x=son[x][0];
	splay(x);
	return x;	
}

void split(int x,int y){
	makeroot(x);
	access(y),splay(y);	
}

void link(int x,int y){
	makeroot(x);
	fa[x]=y;	
}

void kruskal(){
	int tot=0;
	Rep(i,1,m){
		int fax=find(e[i].x),fay=find(e[i].y);
		if(fax==fay)continue;
		f[fax]=fay;
		vis[i]=true;
		link(e[i].x,i+n),link(e[i].y,i+n);
		sum+=e[i].c;
		if(++tot==n-1)break;
	}
}

signed main()
{
	read(n),read(m);
	Rep(i,1,n)f[i]=i;
	Rep(i,1,m){
		read(e[i].x),read(e[i].y),read(e[i].c);
		if(e[i].x==e[i].y)vis[i]=true;
	}
	sort(e+1,e+m+1);
	Rep(i,1,n+m)val[i]=i<=n?0:e[i-n].c;
	kruskal();
	Rep(i,1,m){
		if(vis[i])continue;
		split(e[i].x,e[i].y);
		if(_max[e[i].y]<e[i].c)ans=min(ans,sum-_max[e[i].y]+e[i].c);
		else if(__max[e[i].y]&&__max[e[i].y]<e[i].c)ans=min(ans,sum-__max[e[i].y]+e[i].c);	
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}