【2024华为OD-E卷-100分-勾股数元组】（题目+思路+Java&C++&Python解析)

题目描述

给定一个整数 $N$，你需要找出所有满足以下条件的元组 $(a, b, c)$：

1. $a^2 + b^2 = c^2$，即 $a, b, c$ 构成一个勾股数元组。
2. $a \leq b \leq c$
3. $a, b, c$ 都是正整数。
4. $a \leq N$

输出所有满足条件的勾股数元组 $(a, b, c)$，每个元组占一行，按 $a$ 升序排列，如果 $a$ 相同，按 $b$ 升序排列。

输入

输入一行包含一个整数 $N$。

输出

输出所有满足条件的勾股数元组 $(a, b, c)$，每个元组占一行，按题目要求的顺序排列。

思路

1. 暴力枚举法：我们可以枚举所有 $a \leq N$ 的正整数，对于每个 $a$，再枚举 $b$（$a \leq b \leq \sqrt{N^2 - a^2}$），检查是否存在 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，且 $c$ 为整数。这种方法的时间复杂度较高，但对于 $N$ 不是非常大的情况下是可行的。
2. 数学优化：根据勾股数的生成公式，我们知道所有勾股数 $(a, b, c)$ 可以表示为：
   • $a = m^2 - n^2$
   • $b = 2mn$
   • $c = m^2 + n^2$ 其中 $m > n > 0$ 且 $m$ 和 $n$ 互质，且 $m$ 和 $n$ 有一个是奇数，一个是偶数。

使用这种方法可以大大减少计算量，因为我们只需要枚举 $m$ 和 $n$，然后计算 $a, b, c$，并检查 $a$ 是否满足 $a \leq N$。

Java 代码解析