【2024华为OD-E卷-100分-勾股数元组】（题目+思路+Java&C++&Python解析)

题目描述

给定一个整数 $N$，你需要找出所有满足以下条件的元组 $(a, b, c)$：

1. $a^2 + b^2 = c^2$，即 $a, b, c$ 构成一个勾股数元组。
2. $a \leq b \leq c$
3. $a, b, c$ 都是正整数。
4. $a \leq N$

输出所有满足条件的勾股数元组 $(a, b, c)$，每个元组占一行，按 $a$ 升序排列，如果 $a$ 相同，按 $b$ 升序排列。

输入

输入一行包含一个整数 $N$。

输出

输出所有满足条件的勾股数元组 $(a, b, c)$，每个元组占一行，按题目要求的顺序排列。

思路

1. 暴力枚举法：我们可以枚举所有 $a \leq N$ 的正整数，对于每个 $a$，再枚举 $b$（$a \leq b \leq \sqrt{N^2 - a^2}$），检查是否存在 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，且 $c$ 为整数。这种方法的时间复杂度较高，但对于 $N$ 不是非常大的情况下是可行的。
2. 数学优化：根据勾股数的生成公式，我们知道所有勾股数 $(a, b, c)$ 可以表示为：
   • $a = m^2 - n^2$
   • $b = 2mn$
   • $c = m^2 + n^2$ 其中 $m > n > 0$ 且 $m$ 和 $n$ 互质，且 $m$ 和 $n$ 有一个是奇数，一个是偶数。

使用这种方法可以大大减少计算量，因为我们只需要枚举 $m$ 和 $n$，然后计算 $a, b, c$，并检查 $a$ 是否满足 $a \leq N$。

Java 代码解析

import java.util.Scanner;

public class PythagoreanTriples {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int N = scanner.nextInt();
        scanner.close();
        
        for (int m = 2; m <= N; m++) {
            for (int n = 1; n < m; n++) {
                if (Math.gcd(m, n) == 1 && (m % 2 != n % 2)) {
                    int a = m * m - n * n;
                    int b = 2 * m * n;
                    int c = m * m + n * n;
                    if (a <= N) {
                        System.out.println(a + " " + b + " " + c);
                    } else {
                        break; // No need to continue for this m as a will only increase
                    }
                }
            }
        }
    }

    // Helper function to compute GCD
    private static int gcd(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }
}

C++ 代码解析

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    
    for (int m = 2; m <= N; ++m) {
        for (int n = 1; n < m; ++n) {
            if (gcd(m, n) == 1 && (m % 2 != n % 2)) {
                int a = m * m - n * n;
                int b = 2 * m * n;
                int c = m * m + n * n;
                if (a <= N) {
                    cout << a << " " << b << " " << c << endl;
                } else {
                    break; // No need to continue for this m as a will only increase
                }
            }
        }
    }
    
    return 0;
}

Python 代码解析

import math

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

def main():
    N = int(input().strip())
    
    for m in range(2, N + 1):
        for n in range(1, m):
            if gcd(m, n) == 1 and (m % 2 != n % 2):
                a = m * m - n * n
                b = 2 * m * n
                c = m * m + n * n
                if a <= N:
                    print(f"{a} {b} {c}")
                else:
                    break  # No need to continue for this m as a will only increase

if __name__ == "__main__":
    main()