勾股数组

最新推荐文章于 2025-02-16 00:01:15 发布
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分类专栏： 数论 文章标签： 勾股数组
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jal517486222/article/details/82965674
本文探讨了是否存在无穷多个勾股数组（毕达哥拉斯三元组），即满足a^2+b^2=c^2的自然数三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因数。通过数学证明，我们发现当t为任意正整数时，可以构造出满足条件的勾股数组，从而证实了无穷勾股数组的存在。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

是否存在无穷多个勾股数组/毕达哥拉斯三元组

本原勾股数组是指一个自然数三元组(a,b,c),其中a,b,c没有公因数，且满足a2+b2=c2a^2 +b^2=c^2a2+b2=c2
显然，a,b奇偶性不同，且c是奇数
证明:
由a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2
得a2=c2−b2=(c+b)(c−b)a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)a2=c2−b2=(c+b)(c−b)
由于a,b,c无公因数，根据自然数的质数唯一性分解定理易知(c+b)和(c-b)都是平方数，所以设c+b=s2,c−b=t2c+b=s^2,c-b=t^2c+b=s2,c−b=t2
所以a2=(s2)∗(t2)a^2=(s^2)*(t^2)a2=(s2)∗(t2),得a=s*t。
所以c=(s2+t2)/2c=(s^2+t^2)/2c=(s2+t2)/2,b=(s2−t2)/2b=(s^2-t^2)/2b=(s2−t2)/2。
当t=1时，b和c相差1

勾股数元组 思路+代码（华为OD-C卷-100分-Python解法）
希望我的博客，能帮上你解决学习中工作中所遇到的问题
07-15 486
关于1，我们可以先求出区间[n,m]的所有数的平方，缓存到一个数组arr中，然后对该数组进行双重for遍历，外层遍历所有元素arr[i]，内层遍历i之后的每一个元素arr[j]，我们求arr[i]+arr[j]的和sum，看arr中是否包含sum元素，若是，则就得到一组勾股数sqrt(arr[i])、sqrt(arr[j])、sqrt(sum)。[1,20]范围内勾股数有：(3 4 5)，(5 12 13)，(6 8 10)，(8 15 17)，(9 12 15)，(12 16 20)；
数论概论笔记（二）勾股数组
qq_37087993的博客
09-24 1391
毕达哥拉斯定理（即勾股定理） a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2 显然勾股数组有无穷个，对存在的勾股数组每个数乘上一个正整数d即可得到新的勾股数组。 因此我们关注两两互质的三元组，即本原勾股数组 证明本原勾股数组的一个性质：a和b奇偶性一定不同，且c总是奇数 证明： 假设a和b都是偶数，那么c也是偶数，因此a，b，c有公因数2，不是本原的 假设a和b都是奇数，那么c一定是偶数 ...
「整理」勾股数组
weixin_33979363的博客
12-29 5524
本文(目前)进入洛谷日报2019-01-05队列 写在前面 我们大概老早就知道勾股定理，它大概就长这样： \[a^2+b^2=c^2\] 嗯，的确够简单的。 而且我们清楚地知道它的一个基本应用——知道\(Rt\Delta\)的两边长，求第三边。这大概初一就学了。 对于不知道勾股定理的童鞋们，不了解没关系，因为这里没有三角形，也不是探讨怎么求第三边，我们只探讨勾股数组。 这里的\(a \equi...
勾股数组的研究
08-02 1323
0. 举例 (3n,4n,5n)、(5n,12n, 13n) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9、40、41) 1. 特点 直角边：一奇一偶，斜边为奇数； 2. 定理符合条件的一组勾股数：偶数边 2n2n，奇数边 n2−1n^2-1，斜边 n2+1n^2+1。
本原勾股数组
Brust Link
04-12 5154
本原勾股数组 本原勾股数组 勾股数 本原勾股数组 证明勾股数勾股数:指三个数A,B,CA,B,C满足以下性质:A2+B2=C2A^2+B^2=C^2.这三个也是构成直角三角形的三条边.本原勾股数组本原勾股数组:指勾股数中两两互质的勾股数,其他勾股数可以由其翻倍得出,为何是必定是两两互质的呢?证明假设BB与CC有公共因子nn,那么可得B=Kn,C=MnB=Kn,C=Mn,则A2=B2+C2=(Kn)2
【题目】使用循环方法编写程序。 (1)满足x2+y2=z2的正整数x、y、z称为一组勾股数，又称为毕达哥拉斯三元数组。用循环方法编程求出指定区间[a,b]范围内的所有勾股数组。 (2)满足1/x2+1/y2=1/z2的正整数x、y、2称为一组倒立的勾股数组。求出指定区间[a,b] 范围内的所有倒立的勾股数组。
06-09
以下是使用Python编写的程序： (1)求勾股数组 ```python a = int(input("请输入区间左端点a：")) b = int(input("请输入区间右端点b：")) ...以上程序可以求出指定区间内的所有勾股数组和倒立的勾股数组。
数论概论 第二章 勾股数组
喵呜的Blog
05-10 6959
<br />      本章主要讨论的是勾股数组，也就是关于满足a^2+b^2=c^2的三元组（a,b,c）的问题。      其实，对于勾股数组的个数进行讨论并没有多大意义，因为已知a，b，c为勾股数组，那么显然有da，db，dc(d>0)也为勾股数组，因为(da)^2+(db)^2=d^2(a^+b^2)=d^2c^2=(dc)^2。      因此着重研究的是关于本原勾股数组的问题，本原勾股数组即为a，b，c为勾股数组且满足a，b，c的最大公约数为1。      对于本原勾股数组，显然a和b奇偶性不同
（1）勾股数组
shi_zi_183的博客
09-12 1927
勾股数组 在国外又称毕达哥拉斯定理，初中都学过一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边长的平分。 公式:a2+b2=c2\hspace{5cm}a^{2}+b^{2}=c^{2}a2+b2=c2 是否有无穷个勾股数组 我们已经找到了一些勾股数组例如（3，4，5）（3，4，5）（3，4，5）。我们将各个勾股数组设为（a，b，c）（a，b，c）（a，b，c），将每个数都乘上个d，那么（da，db，dc）（da，db，dc）（da，db，dc）也是一个数组。 因为 (da)2+(db)2=d2(a2+b2)=d
【数论】勾股数组
Aa12345678bbb的博客
05-05 1437
没有公因数.利用素数的性质是很容易证明这个结论的，因此我打算出完因数分解和算数基本定理后再作为习题由你们完成。最后一个式子等于是在说一个奇数等于一个偶数，显然这是不可能的，重头戏来了，接下来我们会求出构造本源勾股数组的通用公式，我们会问是否存在所有边长都是自然数的毕达哥拉斯三角形，不可能都是偶数，也不可能都是奇数，故他们奇偶性不同。答案是肯定的，不难发现那任意数乘勾股数组中的。所以我们转而关注没有大于1的公因数的勾股数组。这样的三个数组成的三元组，我们称它为。答案是肯定的最著名的例子便是边长为。
【勾股数组】
Brilliance_Z的博客
02-16 1056
记d=gcd(a,b,c)，则每个勾股数组(a,b,c)一一对应本原勾股数组(a/d,b/d,c/d)乘d，进而一一对应s,t和d，一一对应m,n和d。abc是60的倍数。求n个数c的勾股数组分解：先求1~c的本原勾股数组分解，再对每个数c借助“求一个数的约数”转移。求1~c的勾股数组分解：先求1~c的本原勾股数组分解，再借助“求1~c的约数”转移。求一个数c的勾股数组分解：枚举c的约数，对每个约数求其本原勾股数组分解，转移到c。求1~c的本原勾股数组分解：根据勾股数组定理，枚举s,t，求出a,b,c。
【ICPC模板】勾股数组
Vanishment's Blog
02-12 498
本源勾股数组 取n &lt; m且满足(n &amp; 1) ^ (m &amp; 1)为1（这里的^为异或，此表达式说明二者奇偶不同），同时gcd(n, m) = 1（即二者互素），则可得到满足sqr(a) + sqr(b) = sqr(c)（其中sqr()表示平方）的勾股数组：    a = sqr(m) – sqr(n)    b = 2nm    c = sqr(m) + sqr(...
数论概论读书笔记 2.勾股数组
Feynman1999的博客
08-16 672
勾股数组 本原勾股数组是一个三元组（a,b,c) 其中a,b,c没有公因数，且满足 a2+b2=c2a2+b2=c2 a^2+b^2=c^2 定理2.1 （勾股数组定理）. 每个本原勾股数组（a,b,c)（a为奇数，b为偶数)都可从如下公式得出： a=st,b=s2−t22,c=s2+t22a=st,b=s2−t22,c=s2+t22 a=st ,\quad b=\frac{s^2...
关于勾股数组
ID246783的博客
11-17 1661
关于勾股数组 勾股定理   首先是勾股定理： a2+b2=c2 a^2 + b^2 = c^2 a2+b2=c2 勾股数组的定义   然后是勾股数组：一个正整数三元组：(a,b,c)(a, b, c)(a,b,c)，满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2，那么这个三元组就是一个勾股数组 （是有够简单的了）。非常简单，是不是？但是如果你想 装逼 让别人觉得你很厉害的话，那么你可以把这玩意儿叫做 “毕达哥拉斯三元组” （逼格瞬间就上来了有没有 qwq）。   我们来举几个例子：
勾股数组（毕达哥拉斯数组）
ac_blood的博客
11-26 4393
本原勾股数组（PPT)是一个三元组（a，b，c),其中a，b，c无公因数，且满足a² +b² =c²。 很明显存在无穷多个勾股数组（abc同乘以n），下面研究abc没有公因数的情况，先写出一些本原勾股数组： case:(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)(9,40,41)(12,35,37)(11,60,61)(28,45,5
本原勾股数组（数论日常1）
Gm1y's Blog
03-21 1230
本原勾股数组 本原勾股数组（简称PPT）是一个三元组（a,b,c），其中a，b，c没有公因数，且满足 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2 下面的定理可以求它的所有解。 勾股数组定理 每个本原勾股数组都可以由以下公式得出： a=st，b=s2−t22，c=s2+t22a=st，b=\frac{s^2-t^2}{2}，c=\frac{s^2+t^2}{2}a=st，b=2s2−t2...
MATLAB枚举法生成生成勾股数组
最新发布
03-25
<think>好的，用户让我介绍一下用MATLAB通过枚举法生成勾股数组。首先，我需要确认自己了解勾股数的定义，即满足a² + b² = c²的正整数三元组。枚举法的基本思路应该是遍历可能的a和b，然后检查是否存在整数c使得等式成立。不过，直接遍历所有可能的a和b可能效率不高，特别是当数值较大时。 首先，我需要考虑如何限制a和b的范围。因为c必须大于a和b中的最大值，所以或许可以先确定一个上限，比如用户可能想生成c不超过某个N值的所有勾股数。或者用户可能希望生成前N个勾股数。这里可能需要假设用户指的是前者，即生成所有满足c ≤ N的勾股数。 接下来，如何高效地遍历可能的a和b。如果直接两层循环，a从1到N-1，b从a到N-1（避免重复，比如（3,4,5）和（4,3,5）视为同一个组合），然后计算c=sqrt(a² + b²)，检查是否为整数，并且c不超过N。这可能是一个可行的方法。 但是需要考虑计算效率。比如，当N很大时，这样的双重循环会很耗时。但如果是教学性质的枚举法，可能用户接受这种方法。此外，可能需要避免重复的三元组，比如确保a ≤ b < c，这样每个组合只出现一次。 然后，在MATLAB中实现时，如何编写循环结构。例如，外层循环a从1到N-2，内层循环b从a到N-1，然后计算c的平方是否等于a² + b²，并且c必须是整数且<=N。满足条件的话，就将(a, b, c)存入结果数组。 另外，需要考虑数据类型，避免整数溢出，但MATLAB默认是双精度，可能没问题。但检查c是否为整数时，可以用floor(c) == c或者mod(c,1)==0来判断。 可能的优化：可以预先计算a²和b²，然后c²的范围在a² + b² <= N²。或者，当a和b太大时，比如a² + b²超过N²，可以提前终止内层循环。例如，在内层循环b的时候，当a² + b² > N²时，可以break，减少不必要的计算。 另外，是否需要考虑原始勾股数（即互质的勾股数）？可能用户的需求是生成所有可能的勾股数，包括倍数的情况，比如（6,8,10）。所以在枚举时，不管是否互质都记录下来。不过用户的问题中没有特别说明，所以可能不需要区分。 现在，编写具体的MATLAB代码步骤： 1. 用户输入一个N值，作为c的最大值。 2. 初始化一个空数组来存储结果，比如pythagoreanTriples = []; 3. 外层循环a从1到N-1。 4. 内层循环b从a到N-1（这样确保a ≤ b，避免重复）。 5. 计算c_sq = a² + b²。 6. 计算c = sqrt(c_sq)。 7. 检查c是否为整数，且c <= N。如果满足，将[a, b, c]添加到结果数组中。 8. 循环结束后，输出结果。 测试一下，例如N=10，应该得到（3,4,5）和（6,8,10）吗？或者是否有其他组合？ 比如当a=3，b=4时，c=5，满足。当a=6，b=8时，c=10，若N>=10的话。但可能还有其他的，比如a=5，b=12，但此时c=13，如果N>=13才会被包含。 现在，编写代码时需要注意效率问题。例如，对于较大的N，双重循环会很慢。但对于教学示例来说，这可能已经足够。 另外，在MATLAB中，循环的效率可能较低，可以考虑向量化的方法，但枚举法通常指显式循环，所以可能需要保持循环结构。 可能的MATLAB代码示例： function triples = generatePythagoreanTriples(N) triples = []; for a = 1:N-1 for b = a:N-1 c_sq = a^2 + b^2; c = sqrt(c_sq); if c == floor(c) && c <= N triples = [triples; a, b, c]; end end end end 但需要注意，当N较大时，这样的代码可能运行缓慢。例如，当N=1000时，会有近百万次循环，这在MATLAB中可能需要较长时间。但对于用户来说，如果只是小规模的生成，这已经足够。 另外，是否需要去除重复的倍数情况？比如（3,4,5）和（6,8,10），是否都被保留？这取决于用户的需求，但问题中没有说明，所以可能保留所有可能的组合。 可能的改进点包括：在内层循环中，当a² + b² > N²时，可以提前结束循环，因为当b增大到某个值后，后面的b都会导致c超过N。例如，对于每个a，最大的b_max是使得a² + b_max² <= N²，即b_max = floor(sqrt(N² - a²))。这样在内层循环中，b的范围可以从a到b_max，这样减少循环次数。 修改后的内层循环条件： for a = 1:N-1 b_max = floor(sqrt(N^2 - a^2)); if b_max < a continue; % 如果b_max小于a，说明没有可能的b满足条件 end for b = a:b_max c_sq = a^2 + b^2; c = sqrt(c_sq); if c == floor(c) triples = [triples; a, b, c]; end end end 这样优化后，内层循环的次数会减少，特别是当a较大的时候。例如，当a接近N时，b_max可能很小或者甚至小于a，从而跳过该循环。 这样修改后的代码效率会更高，尤其是在处理较大的N值时。 现在，测试这个代码是否正确。例如，当N=5时，最大的c是5。可能的勾股数有（3,4,5）。当a=3，b_max = floor(sqrt(25 - 9))=floor(sqrt(16))=4，但b的起始是a=3，所以b从3到4。当b=3时，c_sq=9+9=18，c≈4.24，不是整数。当b=4时，c=5，符合条件。所以结果正确。 另一个测试，N=10时，a=5，b_max = floor(sqrt(100-25))=floor(sqrt(75))=8.66→8。b从5到8，当b=12时不在范围内，所以此时不会有（5,12,13）因为c=13超过N=10。所以正确的处理。 总结来说，通过枚举a和b，并限制b的范围到sqrt(N² -a²)，可以提高效率。同时，确保a ≤ b ≤ b_max，并检查c是否为整数且不超过N。 最后，用户可能需要具体的代码示例，因此给出这样的函数，并解释其步骤。同时提醒用户该方法的时间复杂度较高，适用于较小的N值，对于较大的N可能需要更高效的算法，如使用数论中的勾股数生成公式（例如，通过m和n生成a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²），但枚举法可能更直观。</think>在MATLAB中使用枚举法生成勾股数组，需遍历所有可能的正整数组合$(a, b)$，验证是否存在$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$且$c \leq N$（$N$为给定上限）。以下是具体步骤和代码示例： --- ### **步骤解析** 1. **定义勾股数条件** 勾股数组$(a, b, c)$需满足： $$a^2 + b^2 = c^2, \quad a \leq b < c \leq N$$ 其中$a, b, c$为正整数。 2. **遍历范围优化** - $a$的范围：$1$到$N-2$（因为$c$至少比$a$大1）。 - $b$的范围：$a$到$\sqrt{N^2 - a^2}$，确保$a^2 + b^2 \leq N^2$，避免无效计算。 3. **检查条件** - 计算$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，判断是否为整数且$c \leq N$。 --- ### **MATLAB代码实现** ```matlab function triples = generatePythagoreanTriples(N) triples = []; % 初始化结果数组 for a = 1:N-1 b_max = floor(sqrt(N^2 - a^2)); % 计算b的最大可能值 if b_max < a continue; % 若b_max小于a，跳过当前a的循环 end for b = a:b_max c = sqrt(a^2 + b^2); if c == floor(c) && c <= N triples = [triples; a, b, c]; % 添加符合条件的组合 end end end end ``` --- ### **代码说明** 1. **输入参数** - `N`：生成勾股数组中$c$的最大允许值。 2. **遍历优化** - 内层循环的`b`从`a`开始，避免重复（如$(3,4,5)$和$(4,3,5)$）。 - `b_max`通过$\sqrt{N^2 - a^2}$计算，减少不必要的循环次数。 3. **条件检查** - `c == floor(c)`确保$c$为整数。 - `c <= N`确保$c$不超过设定上限。 --- ### **示例输出** 调用`generatePythagoreanTriples(10)`，输出为： ``` 3 4 5 6 8 10 ``` 表示满足$c \leq 10$的勾股数组为$(3,4,5)$和$(6,8,10)$。 --- ### **局限性及改进** - **效率问题**：当$N$较大时（如$N > 1000$），枚举法效率较低。 - **改进方向**：使用数论公式生成原始勾股数（如$a = m^2 - n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2$），再通过倍数扩展。 通过上述方法，可直观理解勾股数的生成逻辑，并快速实现小规模枚举。
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